Question

Найдите точки экстремума функции у = е^х x^3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=$></p><p>y'=0 => x1=-3  x2=0</p><p>Если x∈(-∞;-3) y' (x)<0    ( например y'(-4) <0)</p><p>Если x∈(-3;0) y' (x)>0   ( например y'(-1) >0)</p><p>Если x∈(0;∞) y' (x)>0   ( например y'(1) >0)</p><p>=> Производная меняет знак только в точке х=-3</p><p>Это и есть экстремум функции.  В этой точке значение функции имеет локальный минимум , так как знак производной меняется с - на +.</p><p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции \( f(x) = e^x + x^3 \), нужно найти её производные и приравнять их к нулю. Экстремумы могут быть минимумами или максимумами функции.

1. Найдем первую производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x^3) \]

\[ f'(x) = e^x + 3x^2 \]

2. Теперь приравняем \( f'(x) \) к нулю и решим уравнение: \[ e^x + 3x^2 = 0 \]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как слагаемые \( e^x \) и \( 3x^2 \) всегда положительны. Однако, можно провести анализ знаков, чтобы определить характер экстремума.

3. Рассмотрим знаки производной \( f'(x) \) в различных интервалах: - Когда \( x < 0 \), \( e^x \) положительно, а \( 3x^2 \) отрицательно, следовательно, \( f'(x) > 0 \). - Когда \( x > 0 \), оба слагаемых положительны, поэтому \( f'(x) > 0 \).

Из знаков производной видно, что у функции \( f(x) \) нет точек, где производная обращается в ноль, и, следовательно, нет точек экстремума в действительных числах.

Таким образом, функция \( f(x) = e^x + x^3 \) не имеет точек экстремума в действительных числах.