Question

100 баллов. Найти интеграл (ch(t) — гиперболический косинус): С объяснением, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{2}arctg(sh(t))+\frac{sh(t)}{2ch^2(t)} +C.$

Объяснение:

рассмотрите предложенный вариант, суть такая:

1) решение проводилось в тригонометрических функциях (без перехода к экспонентам), так как есть схожесть с обычными тригонометрическими функциями;

2) в (первых) квадратных скобках показана замена, основанная на формулах ch²t-sh²t=1 и (sht)'=chtdt;

3) по возможности перепроверьте арифметику.

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим интеграл от гиперболического косинуса, иногда обозначаемого как \( \cosh(t) \):

\[ \int \cosh(t) \, dt \]

Используем тот факт, что производная гиперболического косинуса равна самому гиперболическому синусу: \( \frac{d}{dt}\cosh(t) = \sinh(t) \). Таким образом, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем:

\[ u = \cosh(t) \] \[ dv = dt \]

Тогда:

\[ du = \sinh(t) \, dt \] \[ v = t \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int \cosh(t) \, dt = t \cosh(t) - \int t \sinh(t) \, dt \]

Теперь рассмотрим интеграл \(\int t \sinh(t) \, dt\). Для этого снова воспользуемся интегрированием по частям:

\[ u = t \] \[ dv = \sinh(t) \, dt \]

Тогда:

\[ du = dt \] \[ v = \cosh(t) \]

Применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int t \sinh(t) \, dt = t \cosh(t) - \int \cosh(t) \, dt \]

Теперь подставим это обратно в исходный интеграл:

\[ \int \cosh(t) \, dt = t \cosh(t) - (t \cosh(t) - \int \cosh(t) \, dt) \]

Сгруппируем подобные термины:

\[ \int \cosh(t) \, dt = t \cosh(t) - t \cosh(t) + \int \cosh(t) \, dt \]

Выразим \(\int \cosh(t) \, dt\) на одну сторону:

\[ \int \cosh(t) \, dt - \int \cosh(t) \, dt = t \cosh(t) - t \cosh(t) \]

\[ 0 = -t \cosh(t) \]

Теперь разделим обе стороны на \(-t\):

\[ \int \cosh(t) \, dt = -\cosh(t) + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, интеграл от \(\cosh(t)\) равен \(-\cosh(t) + C\).

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.