Question

Спростити вираз cos2b-cos(π/2 - b)sin(π + b)Якщо що, b - бета ​

Answer 1

Упростить вырежение cos2β-cos(π/2 - β)sin(π + β).

Ответ:

cos^2 β.

Формулы:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos 2\alpha =1-2\sin^2\alpha \\\\\ \cos\left(\frac{\pi }{2} -\alpha \right)=\sin \alpha \\\\\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

Объяснение:

Используя вышеуказанные формулы преобразовываем выражения:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos 2\beta -\cos\left(\frac{\pi }{2} -\beta \right)*\sin(\pi +\beta )=\\\\=\cos 2\beta-\sin \beta *(-\sin \beta)=1-2\sin^2\beta+ \\\\+\sin^2\beta =1-\sin^2\beta$

Основное тригонометрическое тождество:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos^2\alpha +\sin^2\alpha =1\Longrightarrow \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$

В нашем случае:

$\LARGE \boldsymbol {} 1-\sin^2\beta= \cos^2 \beta$

Answer 2

Почнемо з простішого виразу: cos(π/2 + b).

За формулою cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ, ми можемо записати cos(π/2 + b) = cos(π/2)cos(b) - sin(π/2)sin(b).

Знаємо, що cos(π/2) = 0 та sin(π/2) = 1, отже отримуємо cos(π/2 + b) = 0*cos(b) - 1*sin(b) = -sin(b).

Тепер розглянемо другу частину виразу: sin(π + b).

За формулою sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ, ми можемо записати sin(π + b) = sin(π)cos(b) + cos(π)sin(b).

Знаємо, що sin(π) = 0 та cos(π) = -1, отже отримуємо sin(π + b) = 0*cos(b) + (-1)*sin(b) = -sin(b).

Замінивши вихідні вирази відповідними спрощеними виразами, отримаємо: cos2b - cos(π/2 + b)sin(π + b) = cos2b - (-sin(b))(-sin(b)).

Оскільки -(-sin(b))(-sin(b)) = sin(b)sin(b), то вираз спростішується до cos2b - sin(b)sin(b).

На цьому ми не можемо спростити далі, оскільки це сума двох тригонометричних виразів.