Question

В корзине лежат 10 синих и 6 жёлтых марок. Найти число выборов 6 марок, если: а) они могут быть любого цвета. б) 4 из них должны быть синими, а 2 – жёлтыми. в) все 6 марок должны быть одного цвета.

Answer 1

Ответ:

а) 616

б) 3150

в) 211

Объяснение:

$a)\; C_{10+6}^6=C_{16}^6=\frac{16}{6!10!}=\frac{11*12*13*14*15*16}{1*2*3*4*5*6}=616$

Если марки могут быть любого цвета, то считаем количество способов выбрать 6 марок из имеющихся 16-ти. Это количество сочетаний из 16 по 6.

$b)\;C_{10}^4*C_6^{6-4}=C_{10}^4*C_6^2=\frac{10!}{4!6!}*\frac{6!}{2!4!}=\frac{7*8*9*10}{1*2*3*4}*\frac{5*6}{1*2}=210*15=3150$

4 синие марки выбираем из 10-ти синих И оставшиеся 2 желтые марки выбираем из 6-ти желтых. Это произведение количества сочетаний из 10 по 4 на  количество сочетаний из 6 по 2.

$c)\; C_{10}^6+C_6^6=\frac{10!}{6!4!}+1=\frac{7*8*9*10}{1*2*3*4}+1=210+1=211$

Все 6 марок должны быть одного цвета, значит все они синие ИЛИ все они желтые. Выбираем 6 синих их 10-ти синих ИЛИ 6 желтых из 6-ти желтых. Это сумма количества сочетаний из 10 по 6 и количества сочетаний из 6 по 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вариант:

а) Они могут быть любого цвета. В этом случае количество вариантов выбора 6 марок из 16 (10 синих + 6 жёлтых) можно вычислить с использованием формулы сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где n - общее количество марок, k - количество выбираемых марок.

\[C(16, 6) = \frac{16!}{6! \cdot (16-6)!} = \frac{16!}{6! \cdot 10!}.\]

Подсчитаем это:

\[C(16, 6) = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008.\]

Таким образом, есть 8008 различных способов выбрать 6 марок любого цвета.

б) 4 из них должны быть синими, а 2 - жёлтыми. В этом случае можно использовать формулу сочетаний для каждого цвета и перемножить результаты:

\[C(10, 4) \cdot C(6, 2) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} \cdot \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!}.\]

Подсчитаем это:

\[C(10, 4) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210.\]

\[C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15.\]

Теперь перемножим:

\[210 \cdot 15 = 3150.\]

Таким образом, есть 3150 способов выбрать 6 марок, из которых 4 синие и 2 жёлтые.

в) Все 6 марок должны быть одного цвета. В данном случае, у нас есть два варианта: либо 6 синих, либо 6 жёлтых. Поэтому ответ просто равен 2.

Таким образом, в каждом из трех вариантов мы получаем разное количество способов выбора 6 марок.