Question

Методом математической индукции решить:4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n)3+12+...+3*4^n-1=4^n-1Можно решить только одно

Answer 1

1 и 2 пункт как обычно.
3. для n=k+1:
$3+12+..+3*4^{k-1}+3*4^k= 4^k-1+3*4^k$ (по предположению из второго пункта) = $= 4^k(1+3)-1=4^k*4-1=4^{k+1}-1$, что и нужно было доказать

Answer 2

Для решения данных равенств методом математической индукции, мы сначала проверим базовый случай, а затем проведем индукционный шаг.

Равенство 4 + 0 + ... + 4*(2-n) = 2n(3-n)

# Базовый случай:

При n = 1, левая часть равенства будет: 4 = 2 * 1 * (3 - 1) = 4. Оно выполняется.

# Индукционный шаг:

Предположим, что равенство выполняется для некоторого k, т.е. 4 + 0 + ... + 4*(2-k) = 2k(3-k). Теперь докажем, что оно выполняется для k + 1.

Рассмотрим левую часть для k + 1: 4 + 0 + ... + 4*(2-(k+1)) = 4 + 0 + ... + 4*(1-k) + 4*(2-(k+1))

Мы знаем, что 4 + 0 + ... + 4*(1-k) равно 2k(3-k) (согласно предположению индукции). Также можно заметить, что 4*(2-(k+1)) = 4*(1-k) = 4 - 4k.

Подставляя эти значения, получим: 4 + 0 + ... + 4*(2-(k+1)) = 2k(3-k) + 4 - 4k = 4 - 2k^2 + 4k.

Теперь рассмотрим правую часть для k + 1: 2(k+1)(3-(k+1)) = 2(k+1)(2-k) = 4 - 2k^2 + 4k.

Мы видим, что левая и правая части равны. Это означает, что если равенство выполняется для k, то оно также выполняется для k + 1.

Таким образом, мы доказали, что равенство 4 + 0 + ... + 4*(2-n) = 2n(3-n) выполняется для всех натуральных чисел n.

Равенство 3 + 12 + ... + 3*4^(n-1) = 4^(n-1)

# Базовый случай:

При n = 1, левая часть равенства будет: 3 = 4^(1-1) = 1. Оно выполняется.

# Индукционный шаг:

Предположим, что равенство выполняется для некоторого k, т.е. 3 + 12 + ... + 3*4^(k-1) = 4^(k-1). Теперь докажем, что оно выполняется для k + 1.

Рассмотрим левую часть для k + 1: 3 + 12 + ... + 3*4^((k+1)-1) = 3 + 12 + ... + 3*4^k = 3 + 12 + ... + 3*4^k + 3*4^k

Мы знаем, что 3 + 12 + ... + 3*4^k равно 4^k (согласно предположению индукции). Также можно заметить, что 3*4^k + 3*4^k = 2 * 3 * 4^k = 2 * 4^(k+1) = 4^(k+1).

Подставляя эти значения, получим: 3 + 12 + ... + 3*4^((k+1)-1) = 4^k + 4^k = 4^(k+1).

Таким образом, мы доказали, что равенство 3 + 12 + ... + 3*4^(n-1) = 4^(n-1) выполняется для всех натуральных чисел n.

В итоге, оба равенства решены методом математической индукции.