Question

Найдите такое четырехзначное число, в котором равны цифры тысяч и десятков, число сотен на 1 больше числа единиц, и кроме того, искомое число является полным квадратом целого числа. (Указание: приходим к уравнению где x^2 - искомое число, a - число тысяч, b - число единиц)

Answer 1

Ответ: 8281  четырехзначное число, в котором равны цифры тысяч и десятков, число сотен на 1 больше числа единиц, и кроме того, искомое число является полным квадратом целого числа.

Объяснение:

Решал  недавно другу  такую-же задачу :)

Давайте распишем то как мы получили число  

$x^2=1010a+101b+100$

Допустим у нас  изначально было число

$\overline{adcb} = 1000a+100d+10c+b$

Из условия  :

В числе  $\overline{adcb}$  равны цифры тысяч и десятков

$a=c$

Также  число сотен на 1 больше числа единиц

$d=b+1$

Получим

$\overline{abcd} = 1000a+100d+10c+b= \\\\ 1000a+100(b+1)+10a+b = \\\\ 1000a+100b+100+10a+b = \\\\ 1010a+101b+100$

Нам известно что число $\overline{adcb}$  является полным квадратом

$1010a+101b+100 = x^2 \\\\ 1010a+101b=x^2-10^2$

Воспользуемся формулой разностей квадратов

a² - b² = (a-b)(a+b)

Тогда

$101(10a+b) = (x-10)(x+10)$

Теперь рассмотрим два случая

$\left [ \begin{array}{l}x-10=101\\\\ x+10=101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x=111\\\\ x=91\end{array} \right.$

При возведении в квадрат  числа 100² = 10000 выходит пятизначное число  и т.к 111² > 100² ⇔ 111² > 10000  , то число 111 не подходит т.к по условию у нас четырехзначное число .

Рассмотрим случай когда  x = 91

$x^2= 91^2 = 8281$

Число 8281   подходит всем условиям задачи ,  оно и является
ответом

Answer 2

Пусть искомое число - это ABCC, где A - число тысяч, B - число десятков, C - число единиц.

Условие "равны цифры тысяч и десятков" означает, что A = B. Условие "число сотен на 1 больше числа единиц" означает, что C = B + 1.

Теперь разберемся с условием "искомое число является полным квадратом целого числа". Известно, что полные квадраты до 10000 - это 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3136, 3364, 3600, 3844, 4356, 4900, 5476, 6084, 6724, 7744, 8836, 10000. Очевидно, что A не может быть больше, чем 3, потому что 4-х значные полные квадраты начинаются с 1. Поэтому будем пробовать все значения A от 1 до 3.

1. При A = 1, уравнение будет выглядеть следующим образом: 1B(C) = 1100 + B + 10C + C = 1101 + 11B + 21C = x^2. Заметим, что x^2 также оканчивается на 1 в данном случае, значит B и C могут быть только 2, 3, 7 или 8 (на которые x^2 оканчивается), иначе число не является полным квадратом. 2. При A = 2, 2B(C) = 2200 + B + 10C + C = 2201 + 11B + 21C = x^2. Опять же, рассмотрим варианты окончаний для x^2: 4, 9, 5 или 0. 3. При A = 3, 3B(C) = 3300 + B + 10C + C = 3301 + 11B + 21C = x^2. При таком значении А возможны окончания x^2: 6 или 1.

Таким образом, мы получили несколько вариантов чисел, удовлетворяющих всем условиям: 1. 1227 - число тысяч и десятков одинаково, число сотен больше числа единиц, и 1227 является полным квадратом 35^2. 2. 1336 - число тысяч и десятков одинаково, число сотен больше числа единиц, и 1336 является полным квадратом 36^2. 3. 2428 - число тысяч и десятков одинаково, число сотен больше числа единиц, и 2428 является полным квадратом 49^2. 4. 3630 - число тысяч и десятков одинаково, число сотен больше числа единиц, и 3630 является полным квадратом 60^2.

Вот все возможные числа, которые удовлетворяют заданным условиям.