Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 сантиметров квадратных. Решите через квадратное уравнение, через дискриминант

Answer 1

Объяснение:

Пусть катеты прямоугольника равны х и у.        ⇒

$></p><p><img src=$

Ответ: (3;20), (20;3).

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через \( a \) и \( b \), а гипотенузу через \( c \). Известно, что сумма катетов равна 23 см, то есть \( a + b = 23 \), и площадь треугольника равна 60 кв. см.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Также площадь треугольника можно выразить через его катеты и гипотенузу:

\[ S = \frac{1}{2}c \cdot h \]

Где \( h \) - высота, опущенная на гипотенузу. Так как у нас прямоугольный треугольник, \( h \) равно одному из катетов. Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c \cdot b \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a + b = 23 \) (из условия задачи) 2. \( ab = 2 \cdot 60 = 120 \) (из выражения для площади)

Теперь решим эту систему уравнений. Мы можем выразить \( a \) через \( b \) из уравнения (1) и подставить в уравнение (2):

\[ (23 - b)b = 120 \]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[ 23b - b^2 = 120 \]

\[ b^2 - 23b + 120 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с использованием дискриминанта:

Дискриминант (\( \Delta \)) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равен \( \Delta = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a = 1, b = -23, c = 120 \). Подставим значения:

\[ \Delta = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]

Так как дискриминант положителен (\( \Delta > 0 \)), у нас есть два действительных корня:

\[ b_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = 15 \]

\[ b_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = 8 \]

Теперь, используя уравнение (1), найдем значения для \( a \):

\[ a_1 = 23 - b_1 = 23 - 15 = 8 \]

\[ a_2 = 23 - b_2 = 23 - 8 = 15 \]

Итак, у нас есть две пары катетов для прямоугольного треугольника: \( a_1 = 8, b_1 = 15 \) и \( a_2 = 15, b_2 = 8 \).