Question

Как найти общее решение дифференциального уравнения, подробно y'' + 16y = 6x2 + 3x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

общее решение состоит из частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y'' + 16y = 6x^2 + 3x, нужно:

1. Найти характеристическое уравнение, которое получается при замене правой части на 0: y'' + 16y = 0

Характеристическое уравнение имеет вид λ^2 + 16 = 0, где λ - корень уравнения.

Решим характеристическое уравнение:

λ^2 = -16 λ = ±√(-16) λ = ±4i

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня: 4i и -4i.

2. Общее решение характеристического уравнения имеет вид: y_h(x) = c1 * cos(4x) + c2 * sin(4x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

3. Найдем частное решение неоднородного уравнения. В данном случае правая часть уравнения представляет собой полином второй степени, поэтому предполагаем, что частное решение будет иметь вид: y_p(x) = ax^2 + bx + c

Подставляем это выражение в исходное уравнение: 2a + 16(ax^2 + bx + c) = 6x^2 + 3x

Уравнение является равенством для любых x, поэтому коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны. Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты: 2a + 16c = 0 16a + 16b = 6 16a = 3

Решая эту систему уравнений, получаем: a = 3/16 b = 3/16 c = 0

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p(x) = (3/16)x^2 + (3/16)x

4. Общее решение неоднородного уравнения найдется как сумма общего решения характеристического уравнения и частного решения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * cos(4x) + c2 * sin(4x) + (3/16)x^2 + (3/16)x

Вот и получается общее решение дифференциального уравнения y'' + 16y = 6x^2 + 3x.