Question

Упростите выражение cos п/7 * cos п/42 - sin п/7 * sin п/42

Answer 1

сosα*cosβ-sinα*sinβ=cos(α+β)

(cos(π/7)) * (cos(π/42)) - (sin(π/7)) * (sin(π/42))=cos(π/7+π/42)cos(7π/42)=cosπ/6=√3/2

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулой для косинуса суммы углов:

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

В данном случае у нас \( A = \frac{\pi}{7} \) и \( B = \frac{\pi}{42} \). Тогда:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{42}\right) = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{42} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{\pi}{42} \]

Теперь преобразим числители и знаменатели:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{42}\right) = \frac{\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{42} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{\pi}{42}}{\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{42} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{\pi}{42}} \]

Заметим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель, который можно сократить:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{42}\right) = \frac{\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{42} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{\pi}{42}}{\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{42} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{\pi}{42}} = \frac{\cos\frac{\pi}{42}}{\cos\frac{\pi}{42}} = 1 \]

Таким образом, упрощенное значение выражения \( \cos\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{42}\right) \) равно 1.