Question

Решите задачи с помощью уравнения. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54. Найдите стороны и периметр прямоугольника.

Answer 1

Ответ:

Стороны: 6 и 9 см; периметр - 30 см.

Объяснение:

Пусть сторона прямоугольника = х. Тогда большая сторона = х + 3.

Площадь прямоугольника = длина * ширину, в нашем случае - большая сторона * меньшую ширину. Тогда:

$x (x+3)=54\\x^2 +3x - 54 =0\\D = 3^2 -4*1*(-54) = 9 + 216 = 225$

$x1 = \frac{-3+15}{2} = 6\\\\x2 = \frac{-3-15}{2} = -9$

x2 не удовлетворяет условиям задачи, так как сторона - положительная величина.

Если первая сторона = 6 см , тогда вторая: 6 + 3 = 9 см.

Периметр = сумма длин всех сторон = 6 + 6 + 9 + 9 = 30 см.

Answer 2

Давайте обозначим длину прямоугольника через \(x\) см. Тогда ширина будет равна \((x - 3)\) см, так как одна из сторон больше другой на 3 см. По условию задачи, площадь прямоугольника равна 54 квадратным сантиметрам.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \[ \text{Площадь} = \text{Длина} \times \text{Ширина} \]

У нас есть формула для площади (54) и выражение для длины и ширины: \[ x \times (x - 3) = 54 \]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: \[ x^2 - 3x - 54 = 0 \]

Теперь решим это уравнение. Можем воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) определены следующим образом: \[ a = 1, \quad b = -3, \quad c = -54 \]

Подставим эти значения в формулу и найдем два возможных значения для \(x\). Помним, что длина не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение \(x\).

\[ x = \frac{3 + \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-54)}}{2 \times 1} \]

\[ x = \frac{3 + \sqrt{9 + 216}}{2} \]

\[ x = \frac{3 + \sqrt{225}}{2} \]

\[ x = \frac{3 + 15}{2} \]

\[ x = 9 \]

Таким образом, длина прямоугольника \(x\) равна 9 см, а ширина \((x - 3)\) равна \(9 - 3 = 6\) см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ \text{Периметр} = 2 \times (\text{Длина} + \text{Ширина}) \]

Подставим значения:

\[ \text{Периметр} = 2 \times (9 + 6) = 2 \times 15 = 30 \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 6 см, а его периметр равен 30 см.