Question

При каких значениях параметра k уравнение не имеет корней. x^2 + (k-2)x + 25 = 0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Смотри вложение

Answer 2

Уравнение \(x^2 + (k-2)x + 25 = 0\) является квадратным уравнением. Чтобы определить, при каких значениях параметра \(k\) у это уравнение не имеет корней, нужно рассмотреть его дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = k-2\), и \(c = 25\). Таким образом, дискриминант вашего уравнения будет:

\[D = (k-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25\]

Теперь мы можем рассмотреть различные случаи, в зависимости от значения параметра \(k\):

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня. Это означает, что уравнение имеет корни, и значение \(k\) не имеет значения для этого случая.

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень (корень кратности 2). Это означает, что значение \(k\) тоже не имеет значения для этого случая.

3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней. В этом случае, значение \(k\) играет роль. Для того чтобы \(D\) был отрицательным, \(D\) должен быть меньше нуля:

\[(k-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 < 0\]

Раскроем скобки:

\[k^2 - 4k + 4 - 100 < 0\]

Упростим выражение:

\[k^2 - 4k - 96 < 0\]

Теперь решим это неравенство. Мы видим, что это квадратное неравенство, и чтобы найти интервалы, при которых оно выполняется, мы можем использовать метод знаков. Попробуем разложить его на множители:

\[(k - 8)(k + 12) < 0\]

Теперь рассмотрим знак выражения в каждом из интервалов:

1. Если \(k < -12\), то оба множителя отрицательны, и произведение положительно. 2. Если \(-12 < k < 8\), то первый множитель отрицателен, а второй положителен, и произведение отрицательно. 3. Если \(k > 8\), то оба множителя положительны, и произведение положительно.

Таким образом, уравнение \(x^2 + (k-2)x + 25 = 0\) не имеет действительных корней при \(k \in (-12, 8)\).