Question

Решите иррациональное неравенство sqrt(5x + 6) - sqrt(x + 1) > sqrt(2x - 5)​

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{5x+6}-\sqrt{x+1}>\sqrt{2x-5}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}5x+6\geq 0\\x+1\geq 0\\2x-5\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq -1,2\\x\geq -1\\x\geq 2,5\end{array}\right\ \Rightarrow \\\\x\geq 2,5$

Уединим корень:   $\sqrt{5x+6}>\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}$   ,  возведём в квадрат:

$5x+6>(x+1)+2\sqrt{(x+1)(2x-5)}+(2x-5)\\\\2x+10>2\sqrt{(x+1)(2x-5)}\ \ ,\ \ \ \sqrt{2x^2-3x-5}$

Опять возведём в квадрат.

$2x^2-3x-5$

Решаем неравенство по методу интервалов, подсчитываем знаки в интервалах.

$+++(-2)---(15)+++\\\\x\in (-2;15)$

Учитывая ОДЗ, окончательно получаем:  $x\in [\ 2,5\ ;\, 15\ )\ .$

Answer 2

прежде всего ОДЗ

подкоренное выражение не может быть отрицательным, т.к. корень четной степени.

2x - 5≥0⇒х≥2.5

x + 1≥0⇒х≥-1

5x + 6≥0⇒х≥-1.2, т.о. ОДЗ х≥2.5

перепишем неравенство

√(5x + 6) > √(2x - 5)+√(x + 1)

теперь обе части неотрицательны, можно возводить в квадрат

5x + 6 > 2x - 5+x + 1+2*√(x + 1)*√(2x - 5)

2х+10> 2*√(x + 1)*√(2x - 5), сократим на два

х+5> √(x + 1)*√(2x - 5)

при х≥2.5 обе части неотрицательны, поэтому  можем возводить в квадрат

х²+25+10х> (x + 1)*(2x - 5)

х²+25+10х> 2x² + 2x-5х - 5

x² -13х - 30<0

решим неравенство методом интервалов

x² -13х - 15=0⇒ по Виету х=-2; х=15

____-2____________15__________

+                   -                             +

х∈(-2;15)

с учетом ОДЗ х∈[2.5;15)

Ответ  х∈[2.5;15)

Answer 3

Давайте решим иррациональное неравенство:

\[ \sqrt{5x + 6} - \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x - 5} \]

1. Начнем с того, чтобы избавиться от корней. Возводим обе стороны неравенства в квадрат:

\[ (\sqrt{5x + 6} - \sqrt{x + 1})^2 > (\sqrt{2x - 5})^2 \]

2. Раскроем квадраты:

\[ (5x + 6) - 2\sqrt{(5x + 6)(x + 1)} + (x + 1) > 2x - 5 \]

3. Соберем все члены с корнями в одну часть, а все остальные члены в другую:

\[ 6\sqrt{(5x + 6)(x + 1)} > 5x - 12 \]

4. Теперь разделим обе стороны на 6:

\[ \sqrt{(5x + 6)(x + 1)} > \frac{5x - 12}{6} \]

5. Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (5x + 6)(x + 1) > \left(\frac{5x - 12}{6}\right)^2 \]

6. Упростим правую часть:

\[ (5x + 6)(x + 1) > \frac{(5x - 12)^2}{36} \]

7. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ 5x^2 + 11x + 6 > \frac{25x^2 - 120x + 144}{36} \]

8. Умножим обе стороны на 36, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 36(5x^2 + 11x + 6) > 25x^2 - 120x + 144 \]

\[ 180x^2 + 396x + 216 > 25x^2 - 120x + 144 \]

9. Переносим все члены влево:

\[ 155x^2 + 516x + 72 > 0 \]

10. Теперь решим квадратное неравенство. Для этого можно использовать метод интервалов или дискриминанта.

Дискриминант \( \Delta = b^2 - 4ac \), где у нас \( a = 155, b = 516, c = 72 \).

\[ \Delta = 516^2 - 4 \cdot 155 \cdot 72 \]

После вычислений \(\Delta\) будет больше нуля.

Таким образом, неравенство имеет два действительных корня.

11. Теперь определим знак выражения \(155x^2 + 516x + 72\) для интервалов между корнями. Мы знаем, что дискриминант положителен, поэтому это выражение будет положительным в обоих корнях.

12. Итак, неравенство \(155x^2 + 516x + 72 > 0\) выполняется для всех реальных значений \(x\).

Таким образом, исходное иррациональное неравенство \(\sqrt{5x + 6} - \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x - 5}\) выполняется для всех действительных значений \(x\).