Question

Y=1-6x+ln(6x) на отрезке [1/12; 12/3] найдите наименьшее значение функции

Answer 1

Ответ:

$y( \frac{1}{12} ) = 1 - 6 \times \frac{1}{12} + ln( 6 \times \frac{1}{12} ) = \frac{1}{2} + ln(2) \\ \\ y( \frac{12}{3} ) = 1 - 6 \times \frac{12}{3} + ln(6 \times \frac{12}{3} ) = - 23 - ln(24)$

$y' = - 6 - \frac{1}{x}$

$- 6 - \frac{1}{x} = 0 \\ \\ - \frac{1}{x} = 6 \\ \\ x = - \frac{1}{6}$

Точка x= -1/6 не на отрезке [1/12; 12/3], поэтому

$y_{наиб} = \frac{1}{2} + ln(2)$

$y_{наим} = - 23 - ln(24)$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции Y=1-6x+ln(6x) на отрезке [1/12; 12/3] необходимо найти критические точки функции в этом интервале и сравнить их значения.

Для начала найдем производную функции Y по x: Y' = -6 + 1/(6x)

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: -6 + 1/(6x) = 0 1/(6x) = 6 x = 1/36

Теперь найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка: Y(1/12) = 1 - 6*(1/12) + ln(6*(1/12)) = 1 - 1/2 + ln(1) = 1 - 1/2 = 1/2 Y(12/3) = 1 - 6*(12/3) + ln(6*(12/3)) = 1 - 24 + ln(24) = 1 - 24 + ln(24)

Теперь сравним значения функции в критической точке и на концах отрезка. Минимальное значение будет наименьшим из них.