Question

Если от трехзначного числа отнять 3, оно разделится на 4,если отнять 4 , то оно разделится на 5, если отнять 5, оно разделится на 3 . Найдите все числа Срочнооооо пожалуйста

Answer 1

Ответ:

119; 179; 239; 299; 359; 419; 479; 539; 599; 659; 719; 779; 839; 899; 959

Пояснение:

Трехзначное число можно записать так: 100a + 10b + c.

Признак делимости числа на 3: сумма цифр должна делиться на 3.

Признак делимости на 4: две последние цифры образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 5: число должно кончаться на 0 или на 5.

Составляем систему по условиям:

{ 10b + c - 3 = 4k

{ c - 4 = 0 или 5

{ a + b + c - 5 = 3n

Из 2 уравнения c = 4 или c = 9.

Но, если с = 4, то с - 3 = 1, тогда 10b + c - 3 не может делиться на 4.

Значит, с = 9, с - 3 = 6, с - 5 = 4.

Подставляем это в 1 и 3 уравнения.

{ 10b + 6 = 4k, тогда b = 1 (16), 3 (36), 5 (56), 7 (76), 9 (96).

{ a + b + 4 = 3n

Для b = 1 подходят: а = 1 (114), 4 (414), 7 (714).

Ответы: 119; 419; 719

Для b = 3 подходят: а = 2 (234), 5 (534), 8 (834).

Ответы: 239; 539, 839

Для b = 5 подходят: а = 3 (354), 6 (654), 9 (954).

Ответы: 359; 659; 959

Для b = 7 подходят: а = 1 (174), 4 (474), 7 (774).

Ответы: 179; 479; 779

Для b = 9 подходят: а = 2 (294), 5 (594), 8 (894).

Ответы: 299; 599; 899

Answer 2

Пусть искомое число будет обозначено как "х". Тогда можно записать следующие уравнения:

1) (х - 3) делится на 4 без остатка 2) (х - 4) делится на 5 без остатка 3) (х - 5) делится на 3 без остатка

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) (х - 3) делится на 4 без остатка: Рассмотрим все числа от 100 до 999, которые делятся на 4 без остатка: 100, 104, 108, 112, ... , 996.

Заметим, что если из числа, которое делится на 4 без остатка, вычесть 3, то оно остается делиться на 4 без остатка. То есть, мы ищем числа вида: 100 + 4n - 3, где n - целое число.

2) (х - 4) делится на 5 без остатка: Рассмотрим все числа от 100 до 999, которые делятся на 5 без остатка: 100, 105, 110, 115, ... , 995.

Заметим, что если из числа, которое делится на 5 без остатка, вычесть 4, то оно остается делиться на 5 без остатка. То есть, мы ищем числа вида: 100 + 5n - 4, где n - целое число.

3) (х - 5) делится на 3 без остатка: Рассмотрим все числа от 100 до 999, которые делятся на 3 без остатка: 102, 105, 108, 111, ... , 999.

Заметим, что если из числа, которое делится на 3 без остатка, вычесть 5, то оно остается делиться на 3 без остатка. То есть, мы ищем числа вида: 100 + 3n - 5, где n - целое число.

Итак, чтобы найти все числа, которые удовлетворяют условиям задачи, нужно найти их пересечение. Составим уравнение:

100 + 4n - 3 = 100 + 5m - 4 = 100 + 3k - 5

4n - 3 = 5m - 4 = 3k - 5

Из данного уравнения можно сделать несколько наблюдений. 1) Заметим, что числа 4n - 3 и 5m - 4 нужно привести к виду 4n и 5m соответственно. Для этого добавим кобольшую цифру, дающую остаток -1 при делении на 4 (7) и -1 при делении на 5 (6). Тогда получим: 4n = 7 (mod 4) и 5m = 6 (mod 5). 2) Число 3k - 5 можно привести к виду 3k, добавив большую цифру, дающую остаток 2 при делении на 3 (5). Тогда получим: 3k = 2 (mod 3).

Таким образом, получаем систему уравнений:

4n = 7 (mod 4) 5m = 6 (mod 5) 3k = 2 (mod 3)

Решим эту систему:

1) 4n = 7 (mod 4) Здесь 7 (mod 4) означает остаток 3 при делении на 4. То есть, нам нужно найти такое n, чтобы 4n - 3 делилось на 4 без остатка. Заметим, что при любом целом n число 4n остается делиться на 4 без остатка, поэтому оставляем его в таком виде и переходим к следующему уравнению.

2) 5m = 6 (mod 5) Здесь 6 (mod 5) означает остаток 1 при делении на 5. То есть, нам нужно найти такое m, чтобы 5m - 1 делилось на 5 без остатка. Заметим, что при любом целом m число 5m остается делиться на 5 без остатка, поэтому оставляем его в таком виде и переходим к следующему уравнению.

3) 3k = 2 (mod 3) Здесь 2 (mod 3) означает остаток 2 при делении на 3. То есть, нам нужно найти такое k, чтобы 3k - 2 делилось на 3 без остатка.

Заметим, что при любом целом k число 3k остается делиться на 3 без остатка, поэтому оставляем его в таком виде.

Таким образом, решениями системы уравнений будут любые числа вида:

х = 100 + 4n - 3 = 100 + 5m - 4 = 100 + 3k - 5

Полученное множество чисел будет содержать бесконечное количество элементов.