Question

Решите уравнение 2cos^2x +1/2sin2x-3sin^2x=0

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = - arctg \frac{2}{3} + \pi \: n \\ x_{2} = \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n€Z

Объяснение:

$2 {cos}^{2}x + \frac{1}{2} sin(2x) - 3 {sin}^{2} x = 0 \\ 2 {cos}^{2} x + \frac{1}{2} \times 2sinx \times cosx - 3 {sin}^{2} x = 0 \\ 2 {cos}^{2} x + sinx \times cosx - 3 {sin}^{2} x = 0 | \div {cos}^{2} x \\ \frac{2 {cos}^{2}x}{ {cos}^{2}x} + \frac{sinx \times cosx}{ {cos}^{2}x} - \frac{3 {sin}^{2}x }{ {cos}^{2}x } = 0 \\ 2 + tgx - 3 {tg}^{2} x = 0$

$- 3 {tg}^{2} x + tgx + 2 = 0$

тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

tgx=y

$- 3 {y}^{2} + y + 2 = 0 \\ y_{1} = - \frac{2}{3} \\ y_{2} = 1$

обратная замена:

$y_{1} = - \frac{2}{3} \\ tgx = - \frac{2}{3} \\ x = - arctg \frac{2}{3} + \pi \: n$

n €Z

знак € читать "принадлежит"

$y_{2} = 1 \\ tgx = 1 \\ x = arctg1 + \pi \: n \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться формулами тригонометрии.

Для начала заменим sin^2x на 1-cos^2x, так как sin^2x = 1 - cos^2x.

Теперь у нас получится уравнение:

2cos^2x + 1/2(2sinxcosx) - 3(1-cos^2x) = 0

Упростим его:

2cos^2x + sinxcosx - 3 + 3cos^2x = 0

5cos^2x + sinxcosx - 3 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное относительно cosx. Для этого представим sinxcosx как (1/2)sin2x:

5cos^2x + (1/2)sin2x - 3 = 0

Теперь заметим, что sin2x = 2sinxcosx, поэтому мы можем заменить (1/2)sin2x на sinxcosx:

5cos^2x + sinxcosx - 3 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное относительно cosx. Получим:

cosx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 5, b = 1, c = -3.

Подставим значения:

cosx = (-1 ± √(1 + 4*5*3)) / (10)

cosx = (-1 ± √(1 + 60)) / (10)

cosx = (-1 ± √61) / 10

Таким образом, у нас есть два решения для уравнения 2cos^2x + 1/2sin2x - 3sin^2x = 0:

1) cosx = (-1 + √61) / 10 2) cosx = (-1 - √61) / 10

Это и есть ответы на уравнение.