Question

Знайди множину розв'язків нерівності 1) 2) (x-3)(x+3)-2x(4-x)<3(x-2)²​

Answer 1

Для того чтобы найти множество решений данной неравенства, нужно решить его по частям и найти интервалы значений x, которые удовлетворяют неравенству.

Начнем с раскрытия скобок:

(x-3)(x+3) - 2x(4-x) < 3(x-2)^2

(x^2 - 9) - (8x - 2x^2) < 3(x^2 - 4x + 4)

x^2 - 9 - 8x + 2x^2 < 3x^2 - 12x + 12

3x^2 - x^2 - 8x + 12x - 9 - 12 < 0

2x^2 + 4x - 21 < 0

Теперь решаем квадратное уравнение по x:

2x^2 + 4x - 21 = 0

Используем формулу дискриминанта, чтобы найти корни:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(-21) = 16 + 168 = 184

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня:

x = (-b + √D) / 2a = (-4 + √184) / (2 * 2) ≈ 2.511

x = (-b - √D) / 2a = (-4 - √184) / (2 * 2) ≈ -6.011

Теперь проведем анализ интервалов.

Используем матрицу знаков:

2x^2 + 4x - 21 < 0 x < -6 | + | - | + -6 < x < 2.511 | + | + | - x > 2.511 | + | - | -

Интервалы, на которых неравенство выполняется, это интервалы (-6, 2.511) и (2.511, +∞).

Таким образом, множество решений неравенства 2x^2 + 4x - 21 < 0 это (-6, 2.511) и (2.511, +∞).