Question

Знайти sin(α − β) , cos(α + β) , sin2β, cosα/2, tg2β, якщо cosα = −3/5, cosβ = -8/17,π/2< α < π, π < β <3π/2

Answer 1

Задача состоит в вычислении значений нескольких тригонометрических функций, используя заданные значения углов α и β, при условии, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) и \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \), а также заданные значения косинусов углов: \( \cos(\alpha) = -\frac{3}{5} \) и \( \cos(\beta) = -\frac{8}{17} \).

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Найдем синус угла \( \alpha \):

\[ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} \]

\[ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

2. Теперь найдем синус разности \( (\alpha - \beta) \):

\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \]

\[ \sin(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2} \]

3. Теперь найдем косинус суммы \( (\alpha + \beta) \):

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \]

\[ \cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) - \frac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2} \]

4. Теперь найдем синус угла \( 2\beta \):

\[ \sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) \]

\[ \sin(2\beta) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2} \]

5. Найдем косинус угла \( \frac{\alpha}{2} \):

\[ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}} \]

\[ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

6. Теперь найдем тангенс угла \( 2\beta \):

\[ \tan(2\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{\cos(2\beta)} \]

\[ \tan(2\beta) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2}}{\cos^2(\beta) - \sin^2(\beta)} \]

\[ \tan(2\beta) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2}}{\left(-\frac{8}{17}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \]

Таким образом, получены значения всех искомых тригонометрических функций. Рекомендуется проверить результаты, так как в ручных вычислениях могут быть допущены ошибки.