Question

Довести: 1) (a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4); 2)y ² - 6y + 25 > 0; 3) x² - 6xy + 10y² - 4y + 7 > 0. ДАБ 100 БАЛЛОВ

Answer 1

$\displaystyle 1)\\\\(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)\\\\a^2+4a-6a-24 < a^2-4a+2a-8\\\\0 < 16$

Число 0 менше додатного числа.

$\displaystyle 2)\\\\y^2-6y+25 > 0\\\\y^2-6y+9+16 > 0\\\\(y-3)^2+16 > 0$

Сума невід’ємного і додатного чисел є додатним числом.

$\displaystyle 3)\\\\x^2-6xy+10y^2-4y+7 > 0\\\\x^2-6xy+9y^2+y^2-4y+4+3 > 0\\\\(x-3y)^2+(y-2)^2+3 > 0$

Сума невід’ємних чисел і додатного числа є додатним числом.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1) \( (a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4) \)

Раскроем скобки:

\[ a^2 - 6a + 4a - 24 < a^2 + 2a - 4a + 8 \]

Упростим:

\[ a^2 - 2a - 24 < a^2 + 4 \]

Вычитаем \(a^2\) с обеих сторон:

\[ -2a - 24 < 4 \]

Прибавим 24 к обеим сторонам:

\[ -2a < 28 \]

Разделим на -2, поменяв знак неравенства:

\[ a > -14 \]

2) \( y^2 - 6y + 25 > 0 \)

Это квадратное уравнение по переменной \(y\). Мы можем попытаться его решить, используя дискриминант. Дискриминант (\(\Delta\)) для уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) равен \(b^2 - 4ac\).

В данном случае:

\[ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(25) = 36 - 100 = -64 \]

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения два комплексных корня, и оно не имеет решений в действительных числах. Таким образом, неравенство \(y^2 - 6y + 25 > 0\) верно для всех значений \(y\).

3) \( x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0 \)

Это квадратное уравнение по переменной \(x\). Мы можем также воспользоваться дискриминантом:

\[ \Delta = (-6y)^2 - 4(10y^2 - 4y + 7) \]

Раскрываем скобки:

\[ \Delta = 36y^2 - 4(10y^2 - 4y + 7) \] \[ \Delta = 36y^2 - 40y^2 + 16y - 28 \] \[ \Delta = -4y^2 + 16y - 28 \]

Так как уравнение зависит от \(y\), а не от \(x\), мы не можем просто использовать дискриминант, как в предыдущем случае. Однако, если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений в действительных числах. Мы видим, что коэффициент перед \(y^2\) отрицательный, поэтому дискриминант отрицательный, и неравенство верно для всех значений \(x\) и \(y\).

Итак, система неравенств верна для всех значений переменных \(a\), \(x\) и \(y\) удовлетворяющих условиям \(a > -14\).