Question

Дослідити і побудувати графік функції за допомогою першої і другої похідної y=2x^3-9x^2+12x+1

Answer 1

Для дослідження та побудови графіка функції y=2x^3-9x^2+12x+1, спочатку визначимо її похідні.

Для початку, знайдемо першу похідну функції y'=6x^2-18x+12. Для знаходження першої похідної від функції, необхідно взяти похідну кожної одночлена окремо. Коефіцієнт при x стає степенем x, а степінь x зменшується на одиницю.

Далі, знайдемо другу похідну функції y''=12x-18. Для знаходження другої похідної від функції, необхідно взяти похідну від першої похідної.

Тепер, коли ми знайшли похідні функції, можемо перейти до дослідження та побудови графіка.

1. Визначення точок екстремуму: Для цього рівняємо першу похідну нулю і знаходимо значення x, для яких y' = 0. 6x^2-18x+12=0

Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо два значення x1 та x2. Поставимо їх відповідно до зростання на числовій прямій.

2. Визначення інтервалів зростання та спадання: Для цього аналізуємо першу похідну функції. Звертаємо увагу, що y'=6x^2-18x+12 є параболою з додатнім коефіцієнтом при x^2 (a=6). Отже, функція зростає на інтервалах, де y'>0, і спадає на інтервалах, де y'<0. За результатами аналізу випишемо ці інтервали: (-∞, x1) та (x1, x2) - інтервали зростання (x2, ∞) - інтервал спадання

3. Визначення значень функції на інтервалах зростання та спадання: Для цього аналізуємо другу похідну функції. Так як y''=12x-18 є прямою з позитивним коефіцієнтом, це означає, що функція є вигнутою догори.

На інтервалі (x1, x2), де y'<0 (інтервал зростання), функція перетинає ось Ox. Тому на цьому інтервалі немає значень функції. На інших інтервалах функція має вигляд параболи, вигнутої догори, оскільки y''>0.

4. Знаходження значення функції у визначених точках і розташування їх на графіку: Визначимо значення функції в знайдених точках екстремуму та додатній більшості пунктів на числовій прямій.

Збираючи всі ці дані, можемо побудувати графік функції y=2x^3-9x^2+12x+1.