Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції y=-x²-4x-3 та її найбільше значення.

Answer 1

Зростання та спадання функції y = -x² - 4x - 3

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції y = -x² - 4x - 3, спочатку треба знайти точки, в яких похідна функції дорівнює нулю. Ці точки називаються критичними точками.

Знаходження критичних точок

Для знаходження критичних точок, треба взяти похідну функції y = -x² - 4x - 3 та прирівняти її до нуля:

y' = -2x - 4 = 0

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

-2x - 4 = 0 -2x = 4 x = -2

Таким чином, критична точка цієї функції є x = -2.

Визначення проміжків зростання та спадання

Для визначення проміжків зростання та спадання, треба проаналізувати знак похідної функції на різних інтервалах. Для цього можна взяти довільну точку з кожного інтервалу та підставити її в похідну функцію.

1. Інтервал (-∞, -2): Виберемо x = -3: y' = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 (позитивне число)

Таким чином, на цьому інтервалі функція зростає.

2. Інтервал (-2, +∞): Виберемо x = 0: y' = -2(0) - 4 = -4 (від'ємне число)

Таким чином, на цьому інтервалі функція спадає.

Найбільше значення функції

Щоб знайти найбільше значення функції y = -x² - 4x - 3, треба знайти вершину параболи, яка є найвищою точкою.

Функція y = -x² - 4x - 3 є параболою з від'ємним коефіцієнтом при x², тому вершина параболи знаходиться внизу.

Для знаходження координат вершини параболи, можна використати формулу x = -b / (2a), де a та b - коефіцієнти при x² та x відповідно.

У нашому випадку, a = -1, b = -4, тому:

x = -(-4) / (2 * -1) = 4 / -2 = -2

Отже, x-координата вершини параболи дорівнює -2.

Для знаходження y-координати вершини, підставимо x = -2 у вихідну функцію:

y = -(-2)² - 4(-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1

Отже, найбільше значення функції y = -x² - 4x - 3 дорівнює 1.

Висновок

Проміжки зростання та спадання функції y = -x² - 4x - 3: - Функція зростає на інтервалі (-∞, -2). - Функція спадає на інтервалі (-2, +∞).

Найбільше значення функції y = -x² - 4x - 3 дорівнює 1.