Question

Скільки цілих додатних чисел є розв’язками нерівності (4х-3)^2+(3х+2)^2≥(5х-1)^2? Знайти множину розв’язків нерівності (у-1)/2-(2у+1)/8-у<2. Cкобок спочатку не було, поставила для зрозумілості які дроби

Answer 1

Для початку вирішимо першу нерівність:

(4х-3)² + (3х+2)² ≥ (5х-1)²

Розпишемо квадрати:

(16х² - 24х + 9) + (9х² + 12х + 4) ≥ (25х² - 10х + 1)

Зведемо подібні доданки:

16х² + 9х² + 25х² - 24х + 12х - 10х + 9 + 4 - 1 ≥ 0

(50х² - 22х + 12) ≥ 0

Тепер знайдемо розв'язки цієї квадратної нерівності. Для цього знайдемо вершину параболи за формулою x = -b / (2a) = -(-22) / (2 * 50) = 11/25.

Після цього розглянемо знак коефіцієнта при другому доданку, a = 50. Він більше нуля, тому парабола відкривається вгору.

Отже, нерівність (50х² - 22х + 12) ≥ 0 виконується для всіх x, які належать об'єднанню двох інтервалів: (-∞, 11/25) і (0, +∞).

Тепер перейдемо до другої нерівності:

(у-1)/2 - (2у+1)/8 - у < 2

Спочатку приведемо дроби до спільного знаменника:

4(у-1)/8 - (2у+1)/8 - 8у/8 < 2

(4у - 4 - 2у - 1 - 8у) / 8 < 2

(-6у - 5) / 8 < 2

-6у - 5 < 16

-6у < 21

у > -21/6

Тобто, розв'язки цієї нерівності - це всі y, які більші за -21/6.

Отже, множина розв'язків нерівності (у-1)/2-(2у+1)/8-у < 2 є відрізком (-21/6, +∞).