Question

Помогите X³-x²-8x+12=0

Answer 1

Я могу помочь вам решить уравнение X³-x²-8x+12=0. Существует несколько способов решения этого уравнения, но я расскажу вам о двух из них: методе разложения на множители и формуле Кардано.

Метод разложения на множители заключается в том, что мы ищем такие числа a и b, что X³-x²-8x+12=(X-a)(X-b)(X-c). Для этого мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая говорит, что если уравнение имеет рациональный корень, то он делит свободный член (в нашем случае 12). Подбирая различные делители 12, мы находим, что X=3 является корнем уравнения. Тогда мы можем разделить уравнение на (X-3) и получить X³-x²-8x+12=(X-3)(X²+4X+4). Далее мы можем разложить квадратный трехчлен на множители, используя дискриминант или формулу сокращенного умножения. В итоге мы получаем X³-x²-8x+12=(X-3)(X+2)². Отсюда следует, что уравнение имеет три корня: X=3, X=-2 и X=-2 (двойной корень). Этот метод подробно описан в [первом](https://www.mathway.com/popular-problems/Algebra/255969) и [втором](https://www.mathway.com/popular-problems/Algebra/272783) источниках.

Формула Кардано позволяет решить любое кубическое уравнение вида X³+AX²+BX+C=0, где A, B и C - константы. Для этого мы сначала избавляемся от квадратичного члена, сделав замену X=Y-A/3. В нашем случае A=-1, поэтому X=Y+1/3. Подставляя это в исходное уравнение, мы получаем Y³-25/3Y+250/27=0. Далее мы приводим это уравнение к виду Y³+3PY+2Q=0, где P и Q - новые константы. В нашем случае P=-25/9 и Q=250/54. Затем мы ищем такие числа u и v, что Y=u+v и u³+v³=2Q, uv=P. Решая эти уравнения, мы находим, что u=(-5+√(229))/6 и v=(-5-√(229))/6. Отсюда мы находим, что Y=u+v=-5/3 и Y=u-v=2/3+√(229)/3. Подставляя эти значения в замену X=Y+1/3, мы получаем три корня уравнения: X=3, X=-2 и X=-2-√(229)/3. Этот метод подробно описан в [четвертом](https://math.stackexchange.com/questions/1481917/how-to-solve-x3-x2-8x12-with-cardanos-formula) источнике.

Надеюсь, это помогло вам понять, как решить кубическое уравнение. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них.