Question

Решите уравнение7/4cos(x/4)=cos³(x/4)+sin(x/4)​

Answer 1

Ответ:

По формуле синуса двойного угла

7/4*cos(x/4) = cos^3(x/4) + 2sin(x/4)*cos(x/4)

cos^3(x/4) + cos(x/4)*(2sin(x/4) - 7/4) = 0

cos(x/4)*(cos^2(x/4) + 2sin(x/4) - 7/4) = 0

1) cos(x/4) = 0; x/4 = pi/2 + pi*k; x1 = 2pi + 4pi*k

2) 1 - sin^2(x/4) + 2sin(x/4) - 7/4 = 0

Умножаем все на -1 и делаем замену sin(x/4) = y

y^2 - 2y + 7/4 - 1 = 0

y^2 - 2y + 3/4 = 0

D/4 = 1 - 3/4 = 1/4 = (1/2)^2

y1 = sin(x/4) = 1 - 1/2 = 1/2; x/4 = (-1)^n*pi/6 + pi*n; x2 = (-1)^n*2pi/3 + 4pi*n

y2 = sin(x/4) = 1 + 1/2 = 3/2 - решений нет, потому что sin x <= 1

Ответ: x1 = 2pi + 4pi*k; x2 = (-1)^n*2pi/3 + 4pi*n

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение имеет вид:

\[ \frac{7}{4} \cos\left(\frac{x}{4}\right) = \cos^3\left(\frac{x}{4}\right) + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \]

1. Преобразим уравнение, выделив общий синус на правой стороне:

\[ \frac{7}{4} \cos\left(\frac{x}{4}\right) = \cos^3\left(\frac{x}{4}\right) + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \]

2. Заметим, что \(\cos^3\left(\frac{x}{4}\right)\) можно представить как \(\cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos^2\left(\frac{x}{4}\right)\). Теперь у нас есть два слагаемых с \(\cos\left(\frac{x}{4}\right)\) на правой стороне.

\[ \frac{7}{4} \cos\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) + \sin\left(\frac{x}{4}\right) \]

3. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[ \frac{7}{4} \cos\left(\frac{x}{4}\right) - \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{x}{4}\right) = 0 \]

4. Факторизуем уравнение:

\[ \cos\left(\frac{x}{4}\right) \left(\frac{7}{4} - \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{x}{4}\right)\right) = 0 \]

5. Теперь у нас есть произведение двух множителей, и один из них должен быть равен нулю:

- \(\cos\left(\frac{x}{4}\right) = 0\)

или

- \(\frac{7}{4} - \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{x}{4}\right) = 0\)

6. Решим каждое из уравнений отдельно:

- Для \(\cos\left(\frac{x}{4}\right) = 0\), решениями будут значения угла, для которых \(\cos\left(\frac{x}{4}\right) = 0\). Такие значения можно найти, например, при \(\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Тогда \(x = 2\pi + 8k\pi\).

- Для \(\frac{7}{4} - \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{x}{4}\right) = 0\), решениями могут быть числовые значения \(x\), которые можно численно вычислить. Для этого часто используются численные методы или графический анализ.

Таким образом, у уравнения есть два набора решений:

1. \(x = 2\pi + 8k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. Решения второго уравнения, которые могут быть найдены численно.

Это подробное решение уравнения. Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы или что-то требует уточнения, не стесняйтесь спрашивать.