Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение : sin^2x+2sinxcosx-3cos^2x=0

Answer 1

Ответ:

разделим на cos^2x, не равный 0.

${tg}^{2} (x) + 2tg(x) - 3 = 0$

замена:

$tg(x) = t \\ {t}^{2} + 2t - 3 = 0 \\ d = 4 + 12 = 16 \\ t1 = \frac{ - 2 + 4}{2} = 1 \\ t2 = - 3 \\ \\ tg(x) = 1 \\ x1 = \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ \\ tg(x) = - 3 \\ x2 = - arctg(3) + \pi \: n$

n принадлежит Z

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение пошагово. У вас дано уравнение:

\[ \sin^2x + 2\sin{x}\cos{x} - 3\cos^2x = 0 \]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения этого уравнения. Мы можем воспользоваться тождеством \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \). Давайте выразим \(\sin^2x\) через \(\cos^2x\):

\[ \sin^2x = 1 - \cos^2x \]

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное уравнение:

\[ (1 - \cos^2x) + 2\sin{x}\cos{x} - 3\cos^2x = 0 \]

Теперь объединим все члены и приведем подобные:

\[ -4\cos^2x + 2\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos{x}\). Давайте представим его в виде \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ -4\cos^2x + 2\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 \]

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения \(\cos{x}\). Формула для решения квадратного уравнения выглядит так:

\[ \cos{x} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае: \[ a = -4, \quad b = 2\sin{x}, \quad c = 1 \]

Теперь подставим значения:

\[ \cos{x} = \frac{-2\sin{x} \pm \sqrt{(2\sin{x})^2 - 4(-4)(1)}}{2(-4)} \]

Упростим выражение:

\[ \cos{x} = \frac{-2\sin{x} \pm \sqrt{4\sin^2{x} + 16}}{-8} \]

\[ \cos{x} = \frac{-2\sin{x} \pm \sqrt{4(\sin^2{x} + 4)}}{-8} \]

\[ \cos{x} = \frac{-2\sin{x} \pm \sqrt{4\sin^2{x} + 16}}{-8} \]

\[ \cos{x} = \frac{-\sin{x} \pm \sqrt{\sin^2{x} + 4}}{-4} \]

\[ \cos{x} = \frac{\sin{x} \pm \sqrt{\sin^2{x} + 4}}{4} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos{x}\):

\[ \cos{x} = \frac{\sin{x} + \sqrt{\sin^2{x} + 4}}{4} \] и \[ \cos{x} = \frac{\sin{x} - \sqrt{\sin^2{x} + 4}}{4} \]

Теперь вы можете использовать эти значения \(\cos{x}\) для нахождения соответствующих значений \(x\). Однако, стоит отметить, что уравнение содержит только косинус и синус, и они могут принимать значения в пределах от -1 до 1. Таким образом, значения \(\cos{x}\) не могут быть больше 1 или меньше -1. Если вы решите систему уравнений, учитывая это ограничение, вы сможете получить допустимые значения для \(x\).