Question

Розкладіть многочлен Р(x)=x^3+3x^2-4x-12 на множники

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle (x+3)(x-2)(x+2)$

Объяснение:

$\displaystyle P(x)=x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3)=\\\\(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2)$

Answer 2

Чтобы разложить многочлен на множители, давайте воспользуемся методом синтетического деления или методом деления с остатком.

У нас есть многочлен \(Р(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\). Давайте найдем его корень, используя метод подбора. Если мы найдем корень \(x = a\), то многочлен делится на \(x - a\). Давайте проверим значения многочлена для различных значений \(a\), начиная, например, с \(a = 1\).

1. Подставим \(x = 1\): \[P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) - 12 = 1 + 3 - 4 - 12 = -12\]

2. Подставим \(x = -1\): \[P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4(-1) - 12 = -1 + 3 + 4 - 12 = -6\]

3. Подставим \(x = 2\): \[P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0\]

Таким образом, мы нашли, что \(x = 2\) - корень многочлена. Теперь мы можем разделить \(Р(x)\) на \(x - 2\) с помощью синтетического деления или деления с остатком.

\[ \begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & 3 & -4 & -12 \\ \hline & & 2 & 10 & 12 \\ \end{array} \]

Таким образом, многочлен \(Р(x)\) можно разложить на множители следующим образом:

\[Р(x) = (x - 2)(x^2 + 5x + 6)\]

После деления мы получили квадратный трехчлен \(x^2 + 5x + 6\), который также можно разложить на множители:

\[x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\]

Таким образом, полное разложение многочлена \(Р(x)\):

\[Р(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 3)\]