Question

3×cosx/4×cosx/2×sinx/4 =1-ctgx/1-ctg²x

Answer 1

$3\cdot cos \frac{x}{4}\cdot cos \frac{x}{2} \cdot sin \frac{x}{4}= \frac{1-ctgx}{1-ctg^2x}$

$\star \; \; 3\cdot cos \frac{x}{4} \cdot cos \frac{x}{2} \cdot sin \frac{x}{4}= 3\cdot ( \underbrace {sin\frac{x}{4} \cdot cos \frac{x}{4}}_{1/2\cdot sin(2\cdot x/4)})\cdot cos \frac{x}{2}=\\\\=\frac{3}{2}\cdot sin(\frac{2x}{4})\cdot cos \frac{x}{2}= \frac{3}{2}\cdot sin \frac{x}{2}\cdot cos \frac{x}{2}= \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} \cdot sin\frac{2x}{2} =\frac{3}{8}\cdot sinx\; \ ;\star \\\\\\\star \; \; \frac{1-ctgx}{1-ctg^2x} = \frac{1-ctgx}{(1-ctgx)(1+ctgx)} = \frac{1}{1+ctgx}= \frac{1}{1+\frac{cosx}{sinx}} =\frac{sinx}{sinx+cosx}\; \; \star$


$\frac{3}{8}\cdot sinx= \frac{sinx}{sinx+cosx}\\\\ \frac{3}{8}\cdot sinx(sinx+cosx)=sinx\\\\ 3sinx(sinx+cosx)-8sinx=0\\\\sinx\cdot (3sinx+cosx-8)=0\\\\a)\; \; sinx=0\; ,\; \; \; x=\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; 3sinx+cosx=8\; |:\sqrt{10}\\\\\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot sinx+\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot cosx=\frac{8}{\sqrt{10}}$

$( \frac{3}{\sqrt{10}})^2+( \frac{1}{\sqrt{10}})^2=1\; \; \to \; \; \; \frac{3}{\sqrt{10}}=sin\varphi \; ,\; \; \frac{1}{\sqrt{10}} =cos\varphi \\\\tg\varphi =3\; \; \to \; \; \varphi =arctg3\\\\sin\varphi \cdot sinx+cos\varphi \cdot cosx=\frac{8}{\sqrt{10}}$

$cos(x-\varphi )=\frac{8}{\sqrt{10}}\; ,\; \; \; \frac{8}{\sqrt{10}}\approx \frac{8}{3,16}\approx 2,53\ \textgreater \ 1\; \; \to \\\\net\; \; teshenij\; ,\; t.k.\; \; |cos \alpha | \leq 1\\\\Otvet:\; \; x=\pi n,\; n\in Z\; .$

Answer 2

Я могу помочь вам с решением тригонометрических уравнений. Ваш вопрос можно переписать как:

$$\frac{3\cos x}{4}\cdot \frac{\cos x}{2}\cdot \frac{\sin x}{4} = \frac{1-\cot x}{1-\cot^2 x}$$

Для решения этого уравнения, нужно привести обе части к общему знаменателю и применить тождества:

$$\frac{3\cos x}{4}\cdot \frac{\cos x}{2}\cdot \frac{\sin x}{4} = \frac{1-\cot x}{1-\cot^2 x}$$

$$\frac{3\cos^2 x \sin x}{32} = \frac{(1-\cot x)(1+\cot x)}{(1-\cot x)(1+\cot x)}$$

$$\frac{3\cos^2 x \sin x}{32} = \frac{1-\cot^2 x}{1-\cot^2 x}$$

$$\frac{3\cos^2 x \sin x}{32} = 1$$

$$3\cos^2 x \sin x = 32$$

$$\sin x (3\cos^2 x - 32) = 0$$

Отсюда, получаем два варианта:

$$\sin x = 0$$

$$3\cos^2 x - 32 = 0$$

Первый вариант дает решения:

$$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Второй вариант дает решения:

$$\cos^2 x = \frac{32}{3}$$

$$\cos x = \pm \frac{4\sqrt{2}}{3}$$

$$x = \pm \arccos \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Однако, поскольку $\frac{4\sqrt{2}}{3} > 1$, то эти решения не принадлежат области определения функции $\cos x$. Поэтому, единственными решениями уравнения являются:

$$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Надеюсь, это было полезно. Вы можете найти больше примеров решения тригонометрических уравнений на этих сайтах:

[Toppr](https://www.toppr.com/ask/question/prove-that-3sin-xcos-x44sin6xcos6x6sin-xcos-x213/)

[Mathway](https://www.mathway.com/popular-problems/Trigonometry/330055)

[Socratic](https://socratic.org/questions/how-do-you-solve-cosx-1-sinx-1-sinx-cosx-4-for-0-x-2pi)