Question

X^2+y^2-4x+6y+19 - найдите наименьшее значение выражения СРОЧНО ПЖ

Answer 1

Искать будем так - найдем частные производные функции, приравняем их к нулю и составим систему, найдем решение этой системы - стационарную точку, далее составим гессиан и по нему определим характер этой точки: если гессиан положительно определен, то стационарная точка есть точка минимума функции (локального или глобального), а если гессиан отрицательно определён, то стационарная точка есть точка максимума функции (локального или глобального). Так вот, если эта точка оказалась минимумом, то просто подставим ее в функцию, найдем ее значение и это будет ответ.

$\left \{ {{Z'_x=2x-4} \atop {Z'_y=2y+6}} \right. \\\\ \left \{ {{2x-4=0} \atop {2y+6=0}} \right. \left \{ {{x=2} \atop {y=-3}} \right.$

$H= \left[\begin{array}{cc}Z''_{xx}&Z''_{xy}\\Z''_{yx}&Z''_{yy}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right]$

Гессиан состоит из констант, не зависящих от аргументов, поэтому данная функция имеет один глобальный экстремум. А так как гессиан положительно определен (оба главных минора матрицы положительные - 2 и 2*2-0*0=4), то полученная стационарная точка есть точка глобального минимума.

$Z(2,-3)=2^2+(-3)^2-4*2-3*6+19=4+9-8-18+19=6$'

Ответ - наименьшее значение функции = 6

Answer 2

Данное выражение представляет собой квадратное уравнение вида X^2 + y^2 - 4x + 6y + 19. Чтобы найти наименьшее значение этого выражения, нужно найти его минимум.

Шаг 1: Завершение квадратов

Для начала, давайте завершим квадраты для переменных X и y. Для этого мы можем добавить и вычесть определенные значения внутри скобок.

Выражение X^2 - 4x можно завершить квадратом, добавив и вычитая квадрат половины коэффициента при x. В данном случае, половина коэффициента при x равна -2, поэтому мы можем написать: X^2 - 4x = (X^2 - 4x + 4) - 4 = (X - 2)^2 - 4.

Аналогично, выражение y^2 + 6y можно завершить квадратом, добавив и вычитая квадрат половины коэффициента при y. В данном случае, половина коэффициента при y равна 3, поэтому мы можем написать: y^2 + 6y = (y^2 + 6y + 9) - 9 = (y + 3)^2 - 9.

Теперь наше исходное выражение принимает вид: (X - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 19.

Шаг 2: Упрощение выражения

Давайте упростим полученное выражение: (X - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 19 = (X - 2)^2 + (y + 3)^2 + 6.

Теперь у нас есть выражение вида (X - a)^2 + (y - b)^2 + c, где a = 2, b = -3 и c = 6.

Шаг 3: Минимальное значение

Мы знаем, что выражение вида (X - a)^2 + (y - b)^2 всегда неотрицательно, так как это сумма квадратов, и квадраты неотрицательны. Следовательно, наименьшее значение этого выражения будет достигаться, когда каждое слагаемое равно нулю, то есть (X - a)^2 = 0 и (y - b)^2 = 0.

Из этого следует, что X = a и y = b. В нашем случае, X = 2 и y = -3. Подставляя эти значения в наше исходное выражение, получаем: (X - 2)^2 + (y + 3)^2 + 6 = (2 - 2)^2 + (-3 + 3)^2 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6.

Таким образом, наименьшее значение выражения X^2 + y^2 - 4x + 6y + 19 равно 6.