Question

Назвемо прямокутник розміру × крихким, якщо його можна розрізати на два або більше квадратів, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, і серед яких є рівно один квадрат зі стороною, що дорівнює 1. Знайдіть крихкий прямокутник найменшої площі.

Answer 1

Для пошуку крихкого прямокутника найменшої площі, спочатку розглянемо квадрати з натуральними сторонами. Почнемо з найменшого квадрата, сторона якого дорівнює 1. Цей квадрат вже є крихким прямокутником, оскільки складається з одного квадрата зі стороною 1.

Наступний квадрат має сторону 2. Цей квадрат також є крихким прямокутником, оскільки його можна розрізати на два квадрати зі стороною 1.

Потім розглядаємо квадрат зі стороною 3. Цей квадрат також є крихким прямокутником, оскільки можна розрізати на два квадрати зі стороною 1 та ще один квадрат зі стороною 2.

Продовжуємо цей процес, додаючи по одному квадрату з більшою стороною. Для кожного нового квадрата ми додаємо один квадрат зі стороною 1 та один квадрат зі стороною, яка на 1 менша за сторону нового квадрата. Це забезпечує наявність одного квадрата зі стороною 1 та одного квадрата зі стороною, яка дорівнює різниці між стороною нового квадрата та 1.

Продовжуючи цей процес, ми знаходимо, що квадрат зі стороною 6 є найменшим крихким прямокутником, оскільки він може бути розрізаний на два квадрати зі стороною 1, два квадрати зі стороною 2 та один квадрат зі стороною 3.

Таким чином, крихкий прямокутник найменшої площі має сторони 6 і 4, а його площа дорівнює 24.