Question

Знайти множину значень функції y = (1/2) ^ x - 1

Answer 1

Для знаходження множини значень функції \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\), спочатку врахуємо, що база \(\frac{1}{2}\) менше 1, тобто \(0 < \frac{1}{2} < 1\).

З цим врахуванням можна аналізувати значення функції на різних інтервалах \(x\):

1. **Якщо \(x > 0\)**: У цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) завжди буде додатнім числом, бо піднесення до будь-якого додатнього \(x\) менше 1 дає додатне число. Таким чином, \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) завжди більше -1.

2. **Якщо \(x = 0\)**: В цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1\), і \(y = 1 - 1 = 0\).

3. **Якщо \(x < 0\)**: У цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) буде більше 1, оскільки піднесення до від'ємного \(x\) менше 1 дає більше число (оскільки дріб підноситься до відвертої ступені). Таким чином, \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) завжди менше -1.

Отже, множина значень функції \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) - це всі дійсні числа, крім числа 0, тобто \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

Answer 2

Функция y = (1/2)^x - 1 представляет собой экспоненциальную функцию, где основание равно 1/2, и к ней прибавляется -1.

Для того чтобы найти множество значений этой функции, нужно учитывать, что основание экспоненты 1/2 означает, что функция будет убывающей. Таким образом, множество значений будет зависеть от области определения функции.

Областью определения для данной функции являются все вещественные числа, так как основание экспоненты может быть любым положительным числом.

Теперь найдем множество значений функции. Поскольку функция убывающая, то наименьшее значение будет при x = ∞, а наибольшее значение - при x = -∞. Таким образом, множество значений будет от -1 до плюс бесконечности ( -1 ≤ y < +∞).