Question

Найдите общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием y=y0 при x=x0 ydx=(x+1)dy. y(0)=1

Answer 1

$ydx=(x+1)dy$

$\dfrac{dx}{x+1} =\dfrac{dy}{y}$

$\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dx}{x+1}$

$\ln|y|=\ln|x+1|+\ln C$

$\ln|y|=\ln C(x+1)$

$\boxed{y=C(x+1)}$ - общее решение

Используем условие $y(0)=1$:

$1=C\cdot(0+1)$

$1=C\cdot1$

$C=1$

$\boxed{y=x+1}$ - частное решение

Answer 2

Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение выглядит следующим образом: ydx = (x+1)dy.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разделяющихся переменных.

Разделим обе части уравнения на y: (1/y)dx = (x+1)dy.

Затем интегрируем обе части уравнения относительно соответствующих переменных: ∫(1/y)dx = ∫(x+1)dy.

Интегрируя, получим: ln|y| = 0.5x^2 + x + c1,

где c1 - произвольная постоянная.

Применяя экспоненту к обеим сторонам уравнения, получим: |y| = e^(0.5x^2 + x + c1).

Учитывая, что y может быть как положительным, так и отрицательным, получаем два возможных варианта общего решения уравнения: 1) y = e^(0.5x^2 + x + c1), 2) y = -e^(0.5x^2 + x + c1).

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

Подставим x = 0 и y = 1 в общее решение: y = e^(0.5(0)^2 + 0 + c1) = e^(c1).

Следовательно, оба общих решения примут вид: 1) y = e^(0.5x^2 + x + c1), 2) y = -e^(0.5x^2 + x + c1).

Теперь определим значение постоянной c1, используя начальное условие y(0) = 1.

Подставим x = 0 и y = 1 в общее решение: 1 = e^(0.5(0)^2 + 0 + c1) = e^(c1).

Из последнего уравнения получаем: c1 = ln(1) = 0.

Таким образом, частное решение с учетом начального условия y(0) = 1 имеет вид: y = e^(0.5x^2 + x).

Итак, общее решение дифференциального уравнения ydx = (x+1)dy равно: y = e^(0.5x^2 + x + c1), где c1 - произвольная постоянная.

Частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1, равно: y = e^(0.5x^2 + x).