Question

Знайти суму чотирьох перших членів геометричної прогресії , якщо b2 = 25, b4=1, q< 0​

Answer 1

Відповідь:

$b_{2}=25=b_{1}*q\\b_{4}=1=b_{3}*q\\b_{3}=b_{2}*q=b_{1}*q*q\\b_{4}=b_{1}*q*q*q\\1=25*q^2\\\\q^2=\frac{1}{25}$

так как по условию q<0

то $q=-\frac{1}{5}$

$b_{2}=b_{1}*(-\frac{1}{5})\\\\25=b_{1}* (-\frac{1}{5})\\\\b_{1}=\frac{25}{1}*(-\frac{5}{1})=-125\\\\\\s_{4}=\frac{b_{1}-b_{4}*q}{1-q} =\\\\S_{4}=\frac{-125-1*(-\frac{1}{5})}{1+\frac{1}{5}} =\\\\S_{4}=\frac{-125+\frac{1}{5} }{\frac{6}{5} } =-\frac{624}{5} *\frac{5}{6} =-\frac{624}{6}=-104$

Пояснення:

Answer 2

Для розв'язання задачі використаємо формулу для знаходження суми перших n членів геометричної прогресії:

Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

де Sn - сума перших n членів геометричної прогресії, a1 - перший член геометричної прогресії, q - знаменник прогресії, n - кількість членів, для яких ми рахуємо суму.

Задано b2 = 25, b4 = 1 і q < 0. Нам потрібно знайти суму перших 4 членів прогресії.

З першої заданої умови b2 = 25, ми можемо знайти a1 * q, де a1 - перший член прогресії. Тобто:

a1 * q^2 = 25 (1)

З другої заданої умови b4 = 1, ми можемо знайти a1 * q^4:

a1 * q^4 = 1 (2)

Поділимо (2) на (1), щоб знайти q^2:

(q^4) / (q^2) = 1/25

q^2 = 1/25

Знаючи q^2, можемо знайти q:

q = ± √(1/25) = ± 1/5

З огляду на умову q < 0, відкидається варіант q = 1/5, так як це не задовольняє умову.

Отже, q = -1/5.

Підставимо значення q в (1), щоб знайти a1:

a1 * (-1/5)^2 = 25

a1 * 1/25 = 25

a1 = 25 * 25 = 625

Тепер, ми знаємо, що перший член геометричної прогресії a1 = 625 і q = -1/5.

Застосуємо формулу для знаходження суми перших 4 членів прогресії:

S4 = a1 * (1 - q^4) / (1 - q) = 625 * (1 - (-1/5)^4) / (1 - (-1/5)) = 625 * (1 - 1/625) / (1 + 1/5) = 625 * (624/625) / (6/5) = 5 * 624 / 6 = 520

Отже, сума перших 4 членів геометричної прогресії дорівнює 520.