Question

Найти сумму целочисленных решений неравенства: log₃(x-3) ≤ 1-log₃(x-1)

Answer 1

ОДЗ: х - 3 > 0 и х - 1  > 0, т.е. х > 3 и х > 1, значит, х > 3
log₃(x - 3) ≤ log₃3 - log₃(x - 1)
log₃(x - 3) + log₃(x - 1) ≤ log₃3
log₃((x - 3)(x - 1)) ≤ log₃3
(x - 3)(x - 1) ≤ 3
x² - x - 3x + 3 - 3 ≤ 0
x² - 4x ≤ 0
x(x - 4) ≤ 0
      +               -                          +
______|____________|___________
              0                         4
С учетом ОДЗ: х > 3 и 0 ≤ х ≤ 4 получим ответ: х ∈ (3; 4].

Answer 2

Для начала найдем целочисленные решения неравенства \( \log_3(x-3) \leq 1 - \log_3(x-1) \).

Нахождение целочисленных решений неравенства

Для начала перепишем неравенство в эквивалентной форме, чтобы избавиться от логарифмов: \[ \log_3(x-3) + \log_3(x-1) \leq 1 \]

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы объединить логарифмы в один: \[ \log_3((x-3)(x-1)) \leq 1 \]

Теперь преобразуем неравенство: \[ (x-3)(x-1) \leq 3 \]

Это квадратное неравенство, которое можно решить, найдя его корни и затем определяя знак выражения между корнями.

Решение квадратного неравенства

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( (x-3)(x-1) = 3 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4*1*3}}{2*1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = 3 \] \[ x_2 = 1 \]

Теперь определим знак выражения между корнями: \[ (x-3)(x-1) \leq 3 \] \[ x \leq 3 \] \[ 1 \leq x \]

Найденные целочисленные решения

Таким образом, целочисленные решения неравенства \( \log_3(x-3) \leq 1 - \log_3(x-1) \) - это целые числа, удовлетворяющие условиям: \[ x \leq 3 \quad \text{и} \quad 1 \leq x \] \[ \text{Целочисленные решения: } x = 1, 2, 3 \]

Сумма целочисленных решений

Таким образом, сумма целочисленных решений неравенства \( \log_3(x-3) \leq 1 - \log_3(x-1) \) равна: \[ 1 + 2 + 3 = 6 \]

Таким образом, сумма целочисленных решений данного неравенства равна 6.