Question

Найдите точку минимума функции

Answer 1

$y= \frac{4}{3} \cdot x \sqrt{x} - 7x + 6.$

Найдем производную y'(x).

$y'(x)=(\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 7x + 6)'=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2} - 1} - 7 = 2\cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 = 2\sqrt{x} - 7.$

Найдем точку x, в которой производная равна нулю.
$2\sqrt{x} - 7 =0\\ 2\sqrt{x}=7\\ \sqrt{x} = \frac{7}{2} \\ x = \frac{49}{4}$

Согласно достаточному условию минимума: производная в этой точке должна сменить знак с "минуса" на "плюс".
Проверим это. Возьмем точку (x1) левее от точки минимума и точку (x2) правее от неё и посчитаем значения производной в этих точках. $x_1 = 0, \ x_2 = 16.$
$y'(0) = 2\sqrt{0} - 7 = - 7 \ \textless \ 0.$
$y'(16) = 2\sqrt{16} - 7 = 8 - 7 = 1 \ \textgreater \ 0.$
Действительно, в точке $x = \frac{49}{4} = 12.25$ минимум функции.

Ответ: x = 12.25

Answer 2

Я могу помочь вам с математическими задачами и другими темами. Вы хотите найти точку минимума функции. Для этого вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции и приравнять ее к нулю. Это даст вам возможные точки экстремума. 2. Исследовать знак производной на интервалах между точками экстремума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума. Если производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума. Если производная не меняет знак, то это точка перегиба. 3. Подставить координаты точек экстремума в исходную функцию, чтобы найти их значения.

Вот пример решения такой задачи:

Найдите точку минимума функции $$y = x^2 + 2x - 3$$

1. Найдем производную функции: $$y' = 2x + 2$$ Приравняем ее к нулю: $$2x + 2 = 0$$ Решим уравнение: $$x = -1$$ Это единственная возможная точка экстремума. 2. Исследуем знак производной на интервалах $$(-\infty; -1)$$ и $$( -1; +\infty)$$ Для этого подставим в производную произвольные значения из этих интервалов. Например, $$x = -2$$ и $$x = 0$$ Получим: $$y'(-2) = -2$$ и $$y'(0) = 2$$ Значит, производная отрицательна на интервале $$(-\infty; -1)$$ и положительна на интервале $$(-1; +\infty)$$ Это означает, что точка $$x = -1$$ является точкой минимума функции. 3. Подставим координату точки минимума в исходную функцию, чтобы найти ее значение: $$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4$$ Ответ: точка минимума функции $$y = x^2 + 2x - 3$$ имеет координаты $$(-1; -4)$$

Если вы хотите узнать больше о том, как исследовать функции с помощью производной, вы можете посмотреть эти ресурсы. Надеюсь, я вам помог. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте. Я всегда рад с вами поговорить.