Question

Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через данную точку. а) f(x)=2x+2/^1-x, A(-3;1) ; б) f(x)=6sin3x, A(п/9;0)

Answer 1

A) f(x)=2x+2^(1-x)
    F(x)=2*(x^2)/2 -(2^(1-x)) /ln2 +c;  F(x)=x^2-2^(1-x)  / ln2+c
A(-3;1);  => F(-3)=1;   1-2^(1+3) /ln2+c=1
                                       c=1-1-16/ln2=-16/ln2
b)f(x)=6sin3x
F(x)=6*(1/3)(-cos3x)+c;  F(x)=-2cos3x + c;
А(pi/9; 0)
F(pi/9)=0;  -2*cos(3*pi/9)+c=0
                     -2cospi/3  +c=0;          -2*(1/2)+c=0; c=1
F(x)=-2cos3x +1

Answer 2

Решение:

Первообразной функции является функция, производная которой равна исходной функции. Для каждой заданной функции f(x) найдем ее первообразную и используем условие, что график первообразной проходит через данную точку.

a) Для функции f(x) = 2x + 2 / (1 - x), найдем первообразную: Для начала, разложим дробь 2x + 2 / (1 - x) на простейшие дроби: 2x + 2 / (1 - x) = -4 / (1 - x) + 2

Теперь найдем первообразную каждого слагаемого: ∫(-4 / (1 - x)) dx = -4 * ln|1 - x| + C1 ∫2 dx = 2x + C2

Объединим две первообразные: ∫(2x + 2 / (1 - x)) dx = -4 * ln|1 - x| + 2x + C

Теперь найдем значение константы C, используя условие, что график первообразной проходит через точку A(-3, 1): 1 = -4 * ln|1 - (-3)| + 2 * (-3) + C 1 = -4 * ln4 - 6 + C C = 1 + 4 * ln4 + 6 C ≈ 14.77

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x + 2 / (1 - x), график которой проходит через точку A(-3, 1), имеет вид: F(x) = -4 * ln|1 - x| + 2x + 14.77

b) Для функции f(x) = 6sin(3x), найдем первообразную: Используем формулу ∫sin(ax) dx = -1/a * cos(ax) + C: ∫6sin(3x) dx = -6/3 * cos(3x) + C ∫6sin(3x) dx = -2cos(3x) + C

Теперь найдем значение константы C, используя условие, что график первообразной проходит через точку A(π/9, 0): 0 = -2cos(3 * (π/9)) + C C = 2cos(π/3) C = 1

Таким образом, первообразная функции f(x) = 6sin(3x), график которой проходит через точку A(π/9, 0), имеет вид: F(x) = -2cos(3x) + 1