Question

Зная,что соs t = 4/5 0<t<п/2 вычислите sin (п/3+t)

Answer 1

1). 1 - cos(п+x) + sin (п/2 + x/2) = 0, я полагаю?
Упрощаем:
1 + cos(x) + cos (x/2) = 0
По формуле двойного угла:
1 + (2cos(квадрат) (x/2) - 1) + cos (x/2) = 0
2cos(квадрат) (x/2) + cos (x/2) = 0
Отсюда:
а) cos (x/2) = 0
x/2 = п/2 + пk, k - целое
x = п + 2пk, т. е. {...-5п, -3п, -п, п, 3п, 5п... }.
б) cos (x/2) = -1/2
x/2 = 2п/3 + 2пk и -2п/3 + 2пk, k - целое
x = 4п/3 + 4пk, т. е. {...-20п/3, -8п/3, 4п/3, 16п/3...},
и -4п/3 + 4пk, т. е. {... -16п/3, -4п/3, 8п/3, 20п/3...}.
Ответом будут все три решения: x = {п + 2пk, 4п/3 + 4пk, -4п/3 + 4пk}. Проверено Маткадом =)

2). 2sin3x = 1.
sin3x = 1/2.
3x = п/6 + 2пk и 5п/6 + 2пk.
x = п/18 + 2пk/3 и 5п/18 + 2пk/3. Проверено Маткадом.

3). sin5x + sinx + 2sin(квадрат) x = 1.
Сумма синусов равна два синуса полусуммы на косинус полуразности.
2sin3x cos2x + 2sin(квадрат) x = 1.
Благодаря формуле косинуса двойного угла:
2sin3x cos2x = cos2x.
а) cos2x = 0
2x = п/2 + пk
x = п/4 + пk/2.
б) 2sin3x = 1
x = п/18 + 2пk/3 и 5п/18 + 2пk/3. (см. задание 2)
Итого три группы решений. Проверено Маткадом.

4). 5sin3х - 2соs3х = 0.
Делим на cos3x, который не должен быть равен нулю.
5tg3x - 2 = 0.
tg3x = 2/5
3x = arctg(2/5) + пk (понятное дело, при этих значениях cos3x не обнуляется, значит, всё в порядке)
x = arctg(2/5)/3 + пk/3.
К слову, arctg(2/5) - это примерно 21,8 градуса. Результат совпадает с Маткадовским.

5). соs(квадрат) х + sinх соsх = 1
Преобразуем с помощью основного тригонометрического тождества:
sinх соsх = sin(квадрат) х.
Отсюда:
а) sinх = 0
x = пk.
б) cosx = sinx
tgx = 1
x = п/4 + пk.
Это два набора решений. Проверено Маткадом.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать тригонометрический тождество синуса суммы двух углов:

sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)

В данном случае, у нас есть угол A = π/3 и переменная t, которая находится в диапазоне от 0 до π/2.

Теперь мы можем подставить значения и рассчитать sin(π/3 + t):

sin(π/3 + t) = sin(π/3) * cos(t) + cos(π/3) * sin(t)

Мы знаем, что sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

sin(π/3 + t) = (√3/2) * cos(t) + (1/2) * sin(t)

Таким образом, мы получаем выражение для sin(π/3 + t), используя известные значения синуса и косинуса угла π/3.

Пожалуйста, обратите внимание, что для вычисления конкретного значения sin(π/3 + t), необходимо знать значение переменной t. Если вы можете предоставить значение t, я могу помочь вам вычислить sin(π/3 + t) при данном значении.