Question

P(x) = x^5+5x^3-6x^2 найдите корни многочлена с помощью метода разложения его на множители

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$P(x) = x^5+5x^3-6x^2=x^2(x^3+5x-6)=x^2(x^3-x^2+x^2-x+6x-6)=\\=x^2(x^2(x-1)+x(x-1)+6(x-1))=x^2(x-1)(x^2+x+6)\\P(x) =0,\;=>\;x^2(x-1)(x^2+x+6)=0,\;\;x^2(x-1)=0,\;=>\;x=0,\,x=1$

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения корней многочлена \(P(x) = x^5 + 5x^3 - 6x^2\) с помощью метода разложения его на множители, давайте воспользуемся методом группировки. Сначала мы можем выделить общий множитель между первыми тремя членами и последними двумя членами многочлена:

\[P(x) = x^3(x^2 + 5) - 6x^2\]

Теперь мы видим, что первые два члена содержат общий множитель \(x^3\). Мы можем выделить \(x^3\) за скобки:

\[P(x) = x^3(x^2 + 5 - 6x)\]

Далее, давайте рассмотрим выражение в скобках: \(x^2 + 5 - 6x\). Чтобы найти корни этого выражения, мы можем попробовать решить квадратное уравнение \(x^2 - 6x + 5 = 0\).

Для нахождения корней квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае:

\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\).

Теперь, вычислим дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня. Теперь мы можем найти сами корни, используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:

\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1\]

Таким образом, у нас есть два корня квадратного уравнения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\). Теперь мы можем вернуться к выражению в скобках:

\[x^2 + 5 - 6x = (x - 5)(x - 1)\]

Теперь мы можем выразить многочлен \(P(x)\) как произведение множителей:

\[P(x) = x^3(x - 5)(x - 1)\]

Таким образом, корни многочлена \(P(x)\) это \(x = 0\), \(x = 5\) и \(x = 1\).