Question

Первый второй и третий член геометрической прогрессии соответственно равен: 2k+1; 5k;10k где k- положительное число а)найдите значение k b) найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Помогите пожалуйста!!!!

Answer 1

Ответ:

$\{b_{n}\}:\ \ 2k+1\ ;\ 5k\ ;\ 10k\ \ \ \ \to \ \ \ b_1=2k+1\ ,\ \ b_2=5k\ ,\ \ b_3=10k\\\\b_2^2=b_1\cdot b_3\ \ \ \to \ \ \ (5k)^2=(2k+1)\cdot 10k\\\\25k^2=20k^2+10k\ \ ,\ \ \ 5k^2-10k=0\ \ ,\ \ \ 5k\cdot (k-2)=0\ \ ,\\\\k_1=0\ \ (ne\ podxodit)\ \ ,\ \ k_2=2\\\\b)\ \ k=2:\ b_1=5\ ,\ b_2=10\ ,\ b_3=20\ \ \ \to \ \ \ q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{10}{5}=2>1\ \ \Rightarrow$

Так как  $q>1$  ,  то заданная прогрессия не является бесконечно убывающей.

Сумма первых трёх членов прогрессии равна   $S=5+10+20=35$  .

Answer 2

$></p><p>b) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии должен быть < 1 , то есть q < 1 .</p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 3

Для нахождения значения "k" и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам необходимо использовать информацию о первом, втором и третьем членах прогрессии. Геометрическая прогрессия обычно имеет вид:

a, ar, ar^2, ar^3, ...

где "a" - первый член прогрессии, "r" - множитель (знаменатель), и члены прогрессии умножаются на "r", чтобы получить следующий член.

В вашем случае, первый, второй и третий члены прогрессии равны:

1. Первый член: 2k + 1 2. Второй член: 5k 3. Третий член: 10k

Из этой информации мы можем составить уравнения:

1. 2k + 1 = a 2. 5k = ar 3. 10k = ar^2

Теперь давайте найдем значение "k" из этих уравнений.

Из уравнения (2), мы можем выразить "a":

a = 5k/r

Теперь подставим это значение "a" в уравнения (1) и (3):

1. 2k + 1 = 5k/r 3. 10k = (5k/r) * r^2

Для уравнения (1) мы можем выразить "r":

r = 5k / (2k + 1)

Теперь подставим это значение "r" в уравнение (3):

10k = (5k / (2k + 1)) * (5k / (2k + 1))^2

Теперь решим это уравнение для "k". Упростим его:

10k = (25k^3) / (4k^2 + 4k + 1)

Умножим обе стороны на (4k^2 + 4k + 1), чтобы избавиться от дробей:

10k * (4k^2 + 4k + 1) = 25k^3

Распределим 10k справа:

40k^3 + 40k^2 + 10k = 25k^3

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

40k^3 - 25k^3 + 40k^2 + 10k = 0

15k^3 + 40k^2 + 10k = 0

Теперь выносим общий множитель "5k":

5k(3k^2 + 8k + 2) = 0

Это уравнение разлагается на два уравнения:

1. 5k = 0 (это не подходит, так как "k" должно быть положительным числом) 2. 3k^2 + 8k + 2 = 0

Для решения квадратного уравнения (2) можно использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = 8 и c = 2. Теперь вычислим D:

D = 8^2 - 4 * 3 * 2 = 64 - 24 = 40

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

k = (-b ± √D) / 2a

k = (-8 ± √40) / (2 * 3)

k = (-8 ± 2√10) / 6

Теперь разделим числители и знаменатели на 2:

k = (-4 ± √10) / 3

Итак, у нас два возможных значения для "k":

1. k = (-4 + √10) / 3 2. k = (-4 - √10) / 3

Теперь, когда мы нашли значения "k", мы можем перейти ко второй части задачи - нахождению суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии S вычисляется по формуле:

S = a / (1 - r)

где "a" - первый член прогрессии, "r" - множитель (знаменатель).

Для каждого из двух значений "k" найдем соответствующие значения "a" и "r".

1. Для k = (-4 + √10) / 3: a = 2k + 1 = 2 * (-4 + √10) / 3 + 1 r = 5k / (2k + 1) = 5 * (-4 + √10) / (2 * (-4 + √10) / 3 + 1)

2. Для k = (-4 - √10) / 3: a = 2k + 1 = 2 * (-4 - √10) / 3 + 1 r = 5k / (2k + 1) = 5 * (-4 - √10) / (2 * (-4 - √10) / 3 + 1)

Теперь можно вычислить суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий для обоих случаев, используя формулу S = a / (1 - r).