Question

Знатоки математики! помогите пожалуйста, 11 клПроведены две касательные к графику функции y = f (x) = 6x+x^2: одна в точке, где x = -2, а другая в точке, где функция достигает минимума. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими двумя касательными и осями координат.​

Answer 1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 2

Задача:

Найти площадь треугольника, ограниченного двумя касательными к графику функции y = f(x) = 6x + x^2, одна из которых проходит через точку с координатами (-2, f(-2)), а другая проходит через точку минимума функции.

Решение:

Для начала, найдем точку минимума функции. Для этого нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю:

f'(x) = 6 + 2x = 0

Решим это уравнение:

2x = -6 x = -3

Таким образом, точка минимума функции находится при x = -3.

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = -3 в исходную функцию:

f(-3) = 6(-3) + (-3)^2 = -18 + 9 = -9

Таким образом, точка минимума функции равна (-3, -9).

Теперь найдем уравнение касательной, проходящей через точку (-2, f(-2)):

Используем формулу уравнения касательной:

y - y1 = m(x - x1)

где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, m - значение производной функции в этой точке.

Подставляем значения:

y - f(-2) = f'(-2)(x - (-2)) y - f(-2) = f'(-2)(x + 2)

Вычисляем значение производной в точке x = -2:

f'(-2) = 6 + 2(-2) = 6 - 4 = 2

Подставляем значения:

y - f(-2) = 2(x + 2)

Теперь найдем уравнение касательной, проходящей через точку минимума функции (-3, -9):

Подставляем значения:

y - (-9) = f'(-3)(x - (-3)) y + 9 = f'(-3)(x + 3)

Вычисляем значение производной в точке x = -3:

f'(-3) = 6 + 2(-3) = 6 - 6 = 0

Подставляем значения:

y + 9 = 0(x + 3) y + 9 = 0

Теперь у нас есть два уравнения касательных:

y - f(-2) = 2(x + 2) y + 9 = 0

Чтобы найти точки пересечения этих двух касательных, решим эту систему уравнений:

2(x + 2) = 0 y + 9 = 0

Решение первого уравнения:

2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2

Подставляем полученное значение x во второе уравнение:

y + 9 = 0 y = -9

Таким образом, точка пересечения касательных равна (-2, -9).

Теперь мы можем построить треугольник, ограниченный этими двумя касательными и осями координат. Он будет иметь основание, равное расстоянию между точками пересечения касательных, и высоту, равную расстоянию от вершины треугольника до оси x.

Расчет площади треугольника:

Для нахождения площади треугольника, используем формулу:

S = (база * высота) / 2

где база - расстояние между точками пересечения касательных, а высота - расстояние от вершины треугольника до оси x.

Вычисляем базу:

база = |x1 - x2| = |-2 - (-2)| = 0

Вычисляем высоту:

высота = |y - 0| = |-9 - 0| = 9

Подставляем значения в формулу:

S = (0 * 9) / 2 = 0

Таким образом, площадь треугольника, ограниченного этими двумя касательными и осями координат, равна 0.