Question

1)Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=0; у=2sin(x/2); если 0<=х<=2π 2)Найдите значение выражения: Log12√14*log14√12 3)Найдите область определения функции: у=√2-5x-3x^2/x

Answer 1

1)  y=2*sin(x/2)  y=0  x∈[0;2π]
S=intI(₂π/₀) (2*sin(x/2)=(-4*cos(x/2)-0)I₂π/₀=-4*cosπ+4cos0=-4*(-1)+4*1=8.
2) log₁₂√14*log₁₄√12=log₁₂(14)¹/²*log₁₄(12)¹/²=(1/2)*log₁₂14*(1/2)*log₁₄12=
=log₁₂14/(4*log₁₂14)=1/4.
3)y=√((2-5x-3x²)/x)
ОДЗ:  (2-5x-3x²)/x≥0    x≠0
(3x²+5x-2)/x≤0
3x²+5x-2=0  D=49
x=1/3    x=-2.  ⇒
(x-1/3)(x+2)/x≤0
-∞_____-_____-2_____+_____0______-____1/3_____+______+∞
x∈(-∞-2]∨(0;1/3].

Answer 2

1) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 0; у = 2sin(x/2); если 0 <= x <= 2π

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно вычислить интеграл площади между этими кривыми на заданном интервале.

В данном случае, у нас есть две кривые: у = 0 и у = 2sin(x/2). Чтобы найти точки пересечения этих кривых, нужно решить уравнение 2sin(x/2) = 0.

Уравнение 2sin(x/2) = 0 будет выполняться, когда sin(x/2) = 0. То есть, x/2 должно быть равно целому числу π.

Таким образом, точки пересечения кривых находятся при x = 0, x = 2π, x = 4π и т.д.

Интересующий нас интервал 0 <= x <= 2π находится между первой и второй точкой пересечения.

Чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить интеграл площади между кривыми:

S = ∫[a,b] (y2 - y1) dx

Где y2 - верхняя кривая (в данном случае 2sin(x/2)), y1 - нижняя кривая (в данном случае 0), а [a,b] - интервал, на котором мы считаем площадь (в данном случае [0, 2π]).

Теперь можем вычислить площадь:

S = ∫[0,2π] (2sin(x/2) - 0) dx

Вычисление этого интеграла может быть сложным, но мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью:

sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2

Тогда наш интеграл примет вид:

S = ∫[0,2π] 2sin(x/2) dx = 2∫[0,2π] √(1 - cos(x)) dx

Этот интеграл вычисляется с помощью методов математического анализа или численных методов. Я могу помочь вам с численным вычислением этого интеграла, если вы предоставите мне более конкретную информацию о том, какую точность вам требуется и какие методы вы предпочитаете использовать.

2) Найдите значение выражения: Log12√14*log14√12

Для нахождения значения данного выражения, мы можем использовать свойства логарифмов.

Сначала заметим, что √14 можно представить в виде 14^(1/2). Тогда выражение примет вид:

Log12√14*log14√12 = Log12(14^(1/2)) * log14(12^(1/2))

Теперь воспользуемся следующим свойством логарифмов:

Loga(b^c) = c * loga(b)

Применяя это свойство к обоим множителям, получим:

Log12(14^(1/2)) * log14(12^(1/2)) = (1/2) * Log12(14) * (1/2) * log14(12)

Упростим это выражение:

(1/2) * Log12(14) * (1/2) * log14(12) = (1/4) * Log12(14) * log14(12)

Теперь мы можем использовать свойство смены основания логарифма:

Loga(b) = Logc(b) / Logc(a)

Применяя это свойство, получим:

(1/4) * Log12(14) * log14(12) = (1/4) * (log14(14) / log14(12)) * log14(12) = 1/4

Таким образом, значение данного выражения равно 1/4.

3) Найдите область определения функции: у = √(2 - 5x - 3x^2)/x

Областью определения функции является множество значений аргумента x, при которых функция определена.

В данном случае, функция определена только если знаменатель не равен нулю. То есть, если x ≠ 0.

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

2 - 5x - 3x^2 >= 0

Чтобы найти область определения, мы можем решить это неравенство.

Сначала решим уравнение:

2 - 5x - 3x^2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Решениями этого уравнения будут x = -1 и x = 2/3.

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить знаки подкоренного выражения в каждом из трех интервалов (-∞, -1), (-1, 2/3), и (2/3, +∞):

| x | 2 - 5x - 3x^2 | |:---:|:------------:| | -2 | - | | -1 | 0 | | 0 | + | | 1 | - | | 2 | + |

Таким образом, подкоренное выражение будет неотрицательным только на интервале (-1, 2/3).

Итак, область определения функции будет состоять из всех значений x, которые находятся вне нуля и попадают в интервал (-1, 2/3):

D = (-∞, -1) U (-1, 0) U (0, 2/3) U (2/3, +∞)