Question

P(x) - многочлен четвертой степени такой,что P(1)=P(-1) и P(2)=P(-2). Докажите что P(x)=P(-x) для любого x.​

Answer 1

Пусть $P(x)=U(x)+V(x)$, где $U(x)$ есть многочлен, каждый член которого входит в четной степени, а $V(x)$ соответственно наоборот. Тогда из условия следует, что $P(1) = U(1)+V(1) = P(-1)=U(-1)+V(-1)=U(1)+V(-1)$, откуда $-V(1)=V(-1)=V(1) \Rightarrow V(1)=V(-1)=0$. Аналогично, $V(2)=V(-2)=0$, то есть числа $-2, -1, 1, 2$ являются корнями многочлена $V(x)$ степени не выше 3. Противоречие. Стало быть, такого многочлена выделить нельзя, следовательно $P(x)=U(x)$, то есть четная функция.

Answer 2

Для доказательства утверждения P(x) = P(-x) для любого x, начнем с того, что P(1) = P(-1) и P(2) = P(-2), и что P(x) - P(-x) является многочленом четвертой степени, так как это разность двух многочленов четвертой степени.

Обозначим разность P(x) - P(-x) как Q(x). Теперь докажем, что Q(x) = 0 для любого x.

У нас есть P(1) = P(-1) и P(2) = P(-2). Мы можем записать это в виде уравнений:

P(1) - P(-1) = 0 (1) P(2) - P(-2) = 0 (2)

Посмотрим на разность Q(x):

Q(x) = P(x) - P(-x)

Теперь мы хотим доказать, что Q(x) = 0 для любого x. Давайте рассмотрим два случая:

1. Если x = 1, то уравнение (1) говорит нам, что P(1) - P(-1) = 0, что означает Q(1) = 0.

2. Если x = 2, то уравнение (2) говорит нам, что P(2) - P(-2) = 0, что означает Q(2) = 0.

Мы показали, что Q(1) = 0 и Q(2) = 0. Теперь воспользуемся интерполяционным свойством многочленов. Если многочлен Q(x) имеет бесконечно много нулей (как мы только что показали), то он должен быть тождественно равен нулю для всех x. То есть, Q(x) = 0 для любого x.

Таким образом, мы доказали, что P(x) - P(-x) = Q(x) = 0 для любого x, что означает P(x) = P(-x) для любого x.