Question

Xsin^2xdx найти неопределенный интеграл ​

Answer 1

Найдите неопределенный интеграл: $\displaystyle \int x \sin^{2}x \, dx$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫xsin^2(x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной.

Метод интегрирования по частям: Правило интегрирования по частям гласит: ∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - функции переменной x, u' - производная функции u по x.

В данном случае, можно выбрать: u = x, u' = 1, v = sin^2(x), ∫v dx = ∫sin^2(x) dx.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫xsin^2(x) dx = x * ∫sin^2(x) dx - ∫(1 * ∫sin^2(x) dx) dx.

Итак, нам необходимо найти неопределенный интеграл от sin^2(x) dx. Мы можем использовать формулу половинного угла, которая гласит: sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2.

Теперь мы можем заменить ∫sin^2(x) dx в выражении выше: ∫(1 - cos(2x)) / 2 dx = (1/2) * ∫(dx - cos(2x) dx).

Продолжая интегрирование, получим: (1/2) * (x - (1/2) * sin(2x)) + C, где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл от xsin^2(x) dx равен: (x/2) - (1/4) * sin(2x) + C.