Question

Вычислить неопределенный интеграл ∫ x cos⁡2xdx

Answer 1

Ответ:

ответ на картинке

Answer 2

Для вычисления данного интеграла ∫ x cos^2(x) dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это выбранные функции, а du и dv - их дифференциалы.

Выберем u = x и dv = cos^2(x) dx. Тогда производные и интегралы будут:

du = dx, v = ∫ cos^2(x) dx = ∫ (1 + cos(2x))/2 dx = (x/2) + (sin(2x)/4).

Подставляя это в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ x cos^2(x) dx = (x/2) * ((x/2) + (sin(2x)/4)) - ∫ ((x/2) + (sin(2x)/4)) dx = (x^2/4) + (x * sin(2x)/8) - (∫ (x/2) dx) - (∫ (sin(2x)/4) dx) = (x^2/4) + (x * sin(2x)/8) - (x^2/4) - (∫ (sin(2x)/4) dx) = (x * sin(2x)/8) - (∫ (sin(2x)/4) dx).

Теперь нужно вычислить интеграл ∫ (sin(2x)/4) dx:

∫ (sin(2x)/4) dx = -(1/8) * cos(2x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Итак, общее решение интеграла ∫ x cos^2(x) dx будет:

(x * sin(2x)/8) - (-(1/8) * cos(2x)) + C = (x * sin(2x) + cos(2x))/8 + C,

где C - произвольная постоянная.