Question

В прямом паралепипиде стороны основания равны 5 см и 8 см угол между ними 60 °. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с основанием угол в 60 °. Найти эту диагональ ​

Answer 1

Ответ:

1) площадь основания: S=8*15*sin 60°=120*(√3/2)=60√3 см²

2) АВСD- основание. BD- малая диагональ основания и делит основание на 2 треугольника: ΔАВD , ΔBDC. 

ΔABD: по теореме косинусов найдем BD²=AB²+AD²-2*AB*AD*cos60°= 64+225-2*8*15*0.5=169, BD=√169=13 

3) Параллелепипед прямой значит ΔВВ'D- прямоугольный с острым ∠ВDD'=30°, BB'=0.5*13=6.5 высота параллелепипеда

4) V=S*H, S- площадь основания параллелепипеда. 

 V=60√3*6.5=390√3

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим меньшую диагональ параллелепипеда как d. Тогда, согласно условию, угол между стороной основания и диагональю равен 60°. Также известно, что стороны основания равны 5 см и 8 см.

Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному стороной основания, диагональю и боковой стороной параллелепипеда:

d² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos(60°)

Вычислим значение cos(60°):

cos(60°) = 1/2

Подставим это значение в уравнение:

d² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * 1/2 d² = 25 + 64 - 80 d² = 89 - 80 d² = 9

Извлекая квадратный корень, получаем:

d = √9 d = 3

Таким образом, меньшая диагональ параллелепипеда равна 3 см.