Question

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении2) Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда,которые лежат в разных диагональных сечениях.3) Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами — 32,5 см, найдите наклонную.4) Один из катетов прямоугольного равнобедренного треуголь¬ника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней подуглом 45°. Найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.

Answer 1

3) 3 см ...............................................................                                                                                                       

Answer 2

1) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагоналями параллелепипеда и одной из его сторон. Пусть сторона основания параллелепипеда равна a, тогда диагональ основания будет равна d1 = √(a^2 + a^2) = √2a^2. Диагональ параллелепипеда будет равна d2 = 2d1 = 2√2a^2 = 2a√2. Теперь можно найти угол между диагоналями параллелепипеда. Для этого воспользуемся формулой косинуса:

cos(угол) = (a^2 + a^2 - d2^2) / (2a*√2*a) = (2a^2 - 8a^2) / (2a*√2*a) = -6a^2 / (2a*√2*a) = -3 / √2.

2) Для нахождения углов между диагоналями параллелепипеда, лежащих в разных диагональных сечениях, достаточно воспользоваться формулой синуса: sin(угол) = (d1^2 - d2^2) / (2d1*d2) = (2a^2 - 8a^2) / (2√2a^2 * 2a√2) = -6a^2 / (8a^3) = -3 / (4a).

3) Пусть перпендикуляр проведен из точки А до плоскости, а наклонная - до точки В. По условию, разность между ними составляет 25 см, а расстояние между их серединами - 32,5 см. Таким образом, получаем уравнение: АВ - ПВ = 25, (АВ + ПВ) / 2 = 32,5.

Решая эти уравнения, найдем значение ПВ, которое и будет равно наклонной.

4) Пусть один катет треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 45°. Пусть гипотенуза треугольника равна с. Тогда, по теореме Пифагора, каждый катет будет равен с/√2. Угол между гипотенузой и данной плоскостью равен углу между гипотенузой и наклонным катетом треугольника, так как они лежат в одной плоскости. Таким образом, угол между гипотенузой и данной плоскостью будет равен 45°.