Question

Решите уравнение : 2cos (5пx) sin (10пx) =3 sin (5пx).

Answer 1

sin (10πx)=2· sin (5πx)· cos(5πx) - формула синуса двойного угла

2cos (5πx)·2· sin (5πx)· cos(5πx) -3 sin (5πx)=0

sin (5πx)· (4cos²(5πx)-3)=0
Произведение двух множителей равно нулю когда хотя бы один из них равен нулю:
1) sin (5πx) =0 ⇒  5πx=πk, k∈Z  ⇒ x=k/5,    k∈Z
2) 4cos²(5πx)-3=0

    cos(5πx)=√3/2  ⇒ 5πx=±π/6 + 2πn,  n∈Z  ⇒  x=± 1/30  + 2n/5, n∈Z
или
   cos(5πx)=-√3/2  ⇒ 5πx=±(π-π/6) + 2πm,  m∈Z  ⇒  x=± 1/6  + 2m/5, m∈Z

Ответ. x=k/5,    x=± 1/30  + 2n/5,  x=± 1/6  + 2m/5,    k, n, m∈Z

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение подробнее и найдем его решение.

Уравнение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

2cos(5πx) + sin(10πx) = 3sin(5πx).

Для начала, давайте приведем это уравнение к более простому виду. Мы заметим, что в данном уравнении присутствуют функции синуса и косинуса с разными аргументами. Мы можем использовать формулу произведения синуса и косинуса для упрощения уравнения.

Формула произведения синуса и косинуса гласит: sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a-b) + sin(a+b)).

Используя эту формулу, мы можем переписать уравнение следующим образом:

2cos(5πx) + (1/2)(sin(10πx - 5πx) + sin(10πx + 5πx)) = 3sin(5πx).

Упростим это уравнение:

2cos(5πx) + (1/2)(sin(5πx) + sin(15πx)) = 3sin(5πx).

Теперь давайте избавимся от дроби, умножив оба выражения на 2:

4cos(5πx) + sin(5πx) + sin(15πx) = 6sin(5πx).

Теперь мы можем сгруппировать все слагаемые, содержащие sin(5πx) на одну сторону уравнения:

4cos(5πx) + sin(5πx) - 6sin(5πx) + sin(15πx) = 0.

Упростим это уравнение:

4cos(5πx) - 5sin(5πx) + sin(15πx) = 0.

Теперь мы можем применить формулу суммы и разности для косинуса и синуса:

cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2),

sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2).

Мы можем использовать эти формулы для преобразования уравнения:

4cos(5πx) - 5sin(5πx) + sin(15πx) = 0.

4cos(5πx) + 5sin(3πx) - 5sin(5πx) = 0.

Теперь мы можем применить формулу суммы и разности для косинуса и синуса:

-2sin(4πx)sin(πx) + 5sin(3πx) = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть несколько слагаемых, содержащих синусы с разными аргументами. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения этого уравнения.

Одно из таких тождеств гласит: sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a-b) - cos(a+b)).

Применим это тождество к нашему уравнению:

-2(1/2)(cos(4πx - πx) - cos(4πx + πx))sin(πx) + 5sin(3πx) = 0.

-2(1/2)(cos(3πx) - cos(5πx))sin(πx) + 5sin(3πx) = 0.

Упростим это уравнение:

-(cos(3πx) - cos(5πx))sin(πx) + 5sin(3πx) = 0.

Теперь мы можем раскрыть скобки:

sin(πx)cos(3πx) - sin(πx)cos(5πx) + 5sin(3πx) = 0.

Теперь давайте раскроем cos(3πx) и cos(5πx) с помощью формулы суммы и разности для косинуса:

sin(πx)(cos(2πx)cos(πx) - sin(2πx)sin(πx)) + 5sin(3πx) = 0.

sin(πx)(cos(2πx)cos(πx) - sin(2πx)sin(πx)) + 5sin(3πx) = 0.

После упрощения получаем:

sin(πx)(cos(2πx + πx)) + 5sin(3πx) = 0.

sin(πx)(cos(3πx)) + 5sin(3πx) = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть два слагаемых, содержащих синусы с разными аргументами. Мы можем факторизовать это уравнение:

sin(3πx)(cos(3πx) + 5) = 0.

Теперь мы имеем два возможных случая:

1) sin(3πx) = 0. В этом случае мы имеем:

3πx = kπ, где k - целое число.

Отсюда получаем x = k/3.

2) cos(3πx) + 5 = 0. В этом случае мы имеем:

cos(3πx) = -5.

Однако, заметим, что косинус не может быть равен -5 для любого значения аргумента, поскольку косинус принимает значения только от -1 до 1. Следовательно, этот случай не имеет решений.

Таким образом, решение исходного уравнения 2cos(5πx) + sin(10πx) = 3sin(5πx) состоит из всех значений x, которые можно получить из первого случая x = k/3, где k - целое число.

Answer 3

Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения переменной x, при которых оно выполняется. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Уравнение:

\[2\cos(5\pi x) + \sin(10\pi x) = 3\sin(5\pi x).\]

Давайте начнем с переноса всех членов на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение вида 0:

\[2\cos(5\pi x) + \sin(10\pi x) - 3\sin(5\pi x) = 0.\]

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это уравнение. Сначала воспользуемся формулой синуса для разности углов:

\[\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b).\]

Теперь мы можем применить эту формулу к уравнению, где \(a = 10\pi x\) и \(b = 5\pi x\):

\[\sin(10\pi x - 5\pi x) = \sin(5\pi x)(\cos(10\pi x) - \cos(5\pi x)).\]

Упрощаем:

\[\sin(5\pi x) = \sin(5\pi x)(\cos(10\pi x) - \cos(5\pi x)).\]

Теперь можем вынести \(\sin(5\pi x)\) за скобки:

\[\sin(5\pi x)(1 - \cos(10\pi x)) = 0.\]

У нас есть произведение двух множителей, и оно равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \(\sin(5\pi x) = 0\). Это уравнение имеет решение, если \(\sin(5\pi x)\) равен нулю, что происходит, когда:

\[\sin(5\pi x) = 0.\]

Теперь мы знаем, что \(\sin(5\pi x)\) равен нулю в тех случаях, когда аргумент (то есть \(5\pi x\)) равен целому числу кратному \(\pi\), так как \(\sin(\pi n) = 0\), где \(n\) - целое число. Таким образом:

\[5\pi x = \pi n,\]

где \(n\) - целое число.

2. \(1 - \cos(10\pi x) = 0\). Это уравнение имеет решение, если \(\cos(10\pi x)\) равен 1, что происходит, когда:

\[\cos(10\pi x) = 1.\]

Это означает, что аргумент \((10\pi x)\) равен \(2\pi\) (или любому другому углу, кратному \(2\pi\)), так как \(\cos(2\pi n) = 1\), где \(n\) - целое число.

Теперь мы имеем два возможных случая:

1. \(5\pi x = \pi n\) или \(x = \frac{n}{5}\), где \(n\) - целое число. 2. \(10\pi x = 2\pi n\) или \(x = \frac{n}{5}\), где \(n\) - целое число.

Итак, у нас есть два набора решений:

1. \(x = \frac{n}{5}\), где \(n\) - целое число. 2. \(x = \frac{n}{10}\), где \(n\) - целое число.

Это все возможные решения данного уравнения.