Question

Sin^4 x+cos^4 x=cos^2 2x+1/4 ^4-степень

Answer 1

(1-сos2x)²/4+(1+cos2x)²/4-cos²2x-1/4=0
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x-4cos²2x-1=0
1-2cos²2x=0
cos²2x=1/2
cos2x=-1/2⇒2x=+-2π/3+2πk⇒x=+-π/3+πk,k∈z
cos2x=1/2⇒2x=+-π/3+2πk⇒x=+-π/6+πk,k∈z

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем упростить его:

sin^4(x) + cos^4(x) = cos^2(2x) + 1/4^4

Сначала мы заметим, что sin^4(x) + cos^4(x) представляют собой сумму четырёхстепенных степеней синуса и косинуса. Это может быть упрощено с использованием тригонометрических идентичностей:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2

Теперь мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить выражения в скобках:

(sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2 + (cos^2(x))^2

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) + cos^4(x) = 1 - 2cos^2(x) + 2cos^4(x)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1 - 2cos^2(x) + 2cos^4(x) = cos^2(2x) + 1/4^4

Сейчас мы можем попробовать упростить выражение cos^2(2x). Используя тригонометрическую идентичность cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, мы получаем:

cos^2(2x) = (2cos^2(x) - 1)^2

Раскроем скобки:

(2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1 - 2cos^2(x) + 2cos^4(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1/4^4

Сокращаем общие члены:

1 - 2cos^2(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x)

Теперь переместим все члены уравнения на одну сторону:

4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 2cos^2(x) - 1 = 0

Теперь объединим подобные члены:

4cos^4(x) - 2cos^2(x) - 1 = 0

Теперь это уравнение может быть решено с помощью методов решения квадратных уравнений. Для упрощения давайте введем замену:

y = cos^2(x)

Тогда уравнение примет вид:

4y^2 - 2y - 1 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант:

D = (-2)^2 - 4*4*(-1) = 4 + 16 = 20

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

y1,2 = (2 ± √20) / (8)

y1 = (2 + √20) / 8 y2 = (2 - √20) / 8

Теперь вернемся к исходной переменной cos^2(x):

cos^2(x) = (2 + √20) / 8 cos^2(x) = (2 - √20) / 8

Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы найти значения cos(x):

cos(x) = ±√((2 + √20) / 8) cos(x) = ±√((2 - √20) / 8)

Теперь мы можем найти значения углов x, используя арккосинус (cos^(-1)):

x1 = cos^(-1)(±√((2 + √20) / 8)) x2 = cos^(-1)(±√((2 - √20) / 8))

Здесь "±" означает, что у нас есть два возможных значения для каждой из этих выражений. Решение данного уравнения зависит от значений, которые вы выберете для cos(x), и углов x будут соответственно различными.