Question

Дана точка M(1; 7; 7) и две прямые (x-1)/2=(y-2)/3=(z-2)/2 и (x-2)/3=(y-1)/2=(z-3)/-2 . Провести через точку M прямую, пересекающую две данные прямые и найти их точки пересечения.

Answer 1

Дана точка  M(1; 7; 7) и две прямые:

(x-1)/2=(y-2)/3=(z-2)/2                                                            (1)                      

и (x-2)/3=(y-1)/2=(z-3)/-2                                                        (2)

Найдём уравнение плоскости П, в которой лежат точка М)1; 7; 7) и  первая заданная прямая (пусть это n1). На этой прямой задана точка (пусть точка А(1; 2; 2)).

Вектор МА: (0; -5; -5).

Нормальный вектор N плоскости П равен векторному произведению МА на n1(2; 3; 2).

i        j      k |       i       j

0     -5    -5 |     0     -5

2     3     2 |      2      3     =  -10i - 10j  + 0k - 0j+ 15i + 10k =

                                        = 5i - 10j + 10k.  Вектор N(5; -10 10).

Уравнение П: 5(x - 1) - 10(y - 2) + 10(z - 2) = 0.

5x - 5 - 10y + 20 + 10z - 20 = 0.

5x - 10y + 10z - 5 = 0.

Теперь найдём точку пересечения второй заданно прямой (пусть это n2) c плоскостью П.

Для этого уравнение n2 представим к параметрическом виде.

x = 3t + 2,

y = 2t + 1,

z = -2t + 3   и подставим в уравнение П: 5x - 10y + 10z - 5 = 0.

15t + 10 - 20t - 10 - 20t + 30 - 5 = 0,

25t + 25 = 0    отсюда t = 1.

Для получения координат точка В (пересечения заданной прямой n2 с плоскостью П) подставим параметр t в параметрическое уравнение n2:

x = 3t + 2 = 5,

y = 2t + 1 = 3,

z = -2t + 3 = 1.Точка В(5; 3; 1).

Прямая МВ и n1 лежат в одной плоскости, поэтому модно найти точку пересечения с прямой n1.  Точка  M(1; 7; 7)

Вектор МВ: (4; -4; -6).

Уравнение МВ: (x -1)/4 = (y - 7)/(-4) = (z - 7)/(-6).                (3)    

Для получения координат точки А1 (пересечение n1 с МВ) надо приравнять уравнения этих прямых.

Представим уравнение (1) в виде двух уравнений:

(x − 1 )/2   = (y −  2)/3,                                                        (4)

(x − 1 )/2   =  (z − 2)/2.                                                        (5)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (4) и (5)

3x - 3 = 2y - 4,                                                                (6)

2x - 2 = 2z - 4.                                                                (7)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (3).

(x -1)/4 = (y - 7)/(-4) = (z - 7)/(-6).

Представим уравнение (3) в виде двух уравнений:

(x -1)/4 = (y - 7)/(-4),                                                         (8)

(x -1)/4 =  (z - 7)/(-6).                                                        (9)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (8) и (9)

-4x + 4 = 4y - 28,                                                             (10)      

-6x + 6 = 4z - 28.                                                             (11)

Переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

 3x - 2y = -1,                                                                       (12)

2x - 2z = -2.                                                                      (13)

-4x - 4y = -32,                                                                   (14)      

-6x - 4z = -34                                                                    (15)

Решим систему линейных уравнений (12)...(15) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого применим способ подстановки.

Из (14), сократив на 4, имеем у = 8 - х и подставим в (12).

3х - 2(8 - х) = -1,

3х + 2х - 16 = -1,

5х = 15,    отсюда х = 15/5 = 3, а у = 8 - 3 = 5

Тогда z = х + 1 = 3 + 1 = 4.

Точка А1(3; 5; 4).

Answer 2

Для того чтобы провести через точку M прямую, пересекающую две данные прямые, нужно найти их направляющие векторы и воспользоваться формулой для нахождения точки пересечения прямых.

Направляющие векторы прямых найдем из коэффициентов перед x, y и z в уравнениях прямых:

Для первой прямой: (x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-2)/2 Выразим коэффициенты перед x, y и z: x - 1 = 2t y - 2 = 3t z - 2 = 2t

Тогда направляющий вектор первой прямой будет равен (2, 3, 2).

Для второй прямой: (x-2)/3 = (y-1)/2 = (z-3)/-2 Выразим коэффициенты перед x, y и z: x - 2 = 3t y - 1 = 2t z - 3 = -2t

Тогда направляющий вектор второй прямой будет равен (3, 2, -2).

Теперь найдем точку пересечения прямых. Для этого воспользуемся формулой:

(x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c,

где (x1, y1, z1) - координаты точки M, (a, b, c) - направляющий вектор прямой.

Подставим значения:

(x - 1)/2 = (y - 7)/3 = (z - 7)/2,

(x - 2)/3 = (y - 7)/2 = (z - 7)/-2.

Теперь из первого уравнения найдем x:

(x - 1)/2 = (y - 7)/3, 3(x - 1) = 2(y - 7), 3x - 3 = 2y - 14, 3x - 2y = -11.

Из второго уравнения найдем x:

(x - 2)/3 = (z - 7)/-2, -2(x - 2) = 3(z - 7), -2x + 4 = 3z - 21, 2x - 3z = -17.

Теперь решим полученную систему уравнений методом подстановки или методом Крамера:

3x - 2y = -11, 2x - 3z = -17.

Решением системы будет:

x = 1, y = 3, z = 5.

Таким образом, прямая, проведенная через точку M и пересекающая две данные прямые, имеет координаты точки пересечения (1, 3, 5).