Question

∫(sinx dx)/(2+(cosx)^2) с решением пожалуйста...

Answer 1

Тут решение по таблице "первісних" на украинском, не знаю как это на русском будет
Первісна sinx=- cosx
Первісна 1/cos^2x = tgx
Первісна 1/2 = 1/2*х
Теперь это всё сложить и добавить С
-cosx + tgx + x/2 + C

Answer 2

Я могу помочь вам решить этот интеграл. Для этого я использую тригонометрическую подстановку и формулу половинного угла. Вот подробное решение:

∫(sinx dx)/(2+(cosx)^2)

Делаем замену: t = tan(x/2), dt = (1/2)(1+t^2) dx

Тогда sinx = 2t/(1+t^2), cosx = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)

Подставляем в интеграл:

∫(sinx dx)/(2+(cosx)^2) = ∫(2t/(1+t^2))(2dt/(1+t^2))/(2+((1-t^2)/(1+t^2))^2)

Упрощаем:

= ∫(4t dt)/((1+t^2)^3 + 4t^2)

= ∫(4t dt)/(1+6t^2+5t^4)

Делим числитель и знаменатель на 5:

= (4/5)∫(t dt)/((1/5)+(6/5)t^2+t^4)

Приводим к виду, где знаменатель - квадрат разности:

= (4/5)∫(t dt)/((sqrt(6/5)t-1)^2-(sqrt(6/5)t+1)^2)

Разбиваем на два дробных слагаемых:

= (4/5)∫((A/(sqrt(6/5)t-1))+(B/(sqrt(6/5)t+1))) dt

Найдем коэффициенты A и B из равенства:

t = A(sqrt(6/5)t+1)+B(sqrt(6/5)t-1)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем:

A+B = 0, A(sqrt(6/5))+B(-sqrt(6/5)) = 1

Решая систему, находим:

A = sqrt(5/6)/2, B = -sqrt(5/6)/2

Подставляем в интеграл:

= (4/5)∫((sqrt(5/6)/2)/(sqrt(6/5)t-1))+((-sqrt(5/6)/2)/(sqrt(6/5)t+1))) dt

Выносим константы за знак интеграла:

= (4/5)(sqrt(5/6)/2)∫(dt/(sqrt(6/5)t-1))-(4/5)(-sqrt(5/6)/2)∫(dt/(sqrt(6/5)t+1))

Берем интегралы от простых дробей:

= (4/5)(sqrt(5/6)/2)(ln|sqrt(6/5)t-1|)-(4/5)(-sqrt(5/6)/2)(ln|sqrt(6/5)t+1|)+C

Объединяем логарифмы в один с помощью свойства разности:

= (4/10)sqrt(30) ln|(sqrt(6/5)t-1)/(sqrt(6/5)t+1)|+C

Возвращаемся к исходной переменной x с помощью обратной замены:

= (4/10)sqrt(30) ln|(tan(x/2)-sqrt(6/5))/(tan(x/2)+sqrt(6/5))|+C

Это окончательный ответ. Надеюсь, это было полезно.