Question

Решите неравенство: (x^4+1)*(5-6x)*(x-2)<0

Answer 1

Ответ:

x∈(-∞;5/6)∪(2;+∞)

Объяснение:

(x^4+1)*(5-6x)*(x-2)<0⇒(x⁴+1)(6x-5)(x-2)>0⇒6(x⁴+1)(x-5/6)(x-2)>0

____+___5/6___-___2___+__

x∈(-∞;5/6)∪(2;+∞)

здесь x^4+1>0 и в расчет не принимается

Answer 2

Для решения неравенства $(x^4+1) \cdot (5-6x) \cdot (x-2) < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем точки, в которых левая сторона неравенства равна нулю, так как это могут быть точки разрыва:

$(x^4+1) \cdot (5-6x) \cdot (x-2) = 0$

a) $x^4+1=0$

Решение этого уравнения дает $x=\pm i$, где $i$ - мнимая единица.

b) $5-6x=0$

Решение этого уравнения дает $x=\frac{5}{6}$.

c) $x-2=0$

Решение этого уравнения дает $x=2$.

2. Теперь разобьем вещественную ось на интервалы с использованием найденных точек разрыва: $(-\infty, \frac{5}{6}), \left(\frac{5}{6}, 2\right), (2, \infty)$.

3. Возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим их в неравенство $(x^4+1) \cdot (5-6x) \cdot (x-2) < 0$, чтобы определить знак выражения на каждом интервале.

a) Для интервала $(-\infty, \frac{5}{6})$: Пусть $x = 0$. $(0^4+1) \cdot (5-6 \cdot 0) \cdot (0-2) = 1 \cdot 5 \cdot (-2) = -10 < 0$.

b) Для интервала $\left(\frac{5}{6}, 2\right)$: Пусть $x = 1$. $(1^4+1) \cdot \left(5-6 \cdot 1\right) \cdot (1-2) = 2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 2 > 0$.

c) Для интервала $(2, \infty)$: Пусть $x = 3$. $(3^4+1) \cdot (5-6 \cdot 3) \cdot (3-2) = 82 \cdot (-13) \cdot 1 = -1066 < 0$.

4. Теперь, зная знак выражения на каждом интервале, мы можем составить ответ:

- Неравенство $(x^4+1) \cdot (5-6x) \cdot (x-2) < 0$ выполняется на интервалах $x \in \left(\frac{5}{6}, 2\right)$ и $x \in (2, \infty)$.

Таким образом, решением данного неравенства является множество всех значений $x$, которые лежат в интервалах $\left(\frac{5}{6}, 2\right)$ и $(2, \inфty)$.