Question

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры ограниченной данными линиями y=x^2; y=x+2​

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2;y=x+2\\x^2=x+2\\x^2-x-2=0\\D=9;\sqrt{D}=3\\ x_1=2;x_2=-1\\S=\int\limits^2_{-1} {(x+2-x^2)} \, dx =(2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} )|_{-1}^2 =\\=2*2+\frac{2^2}{2} -\frac{2^3}{3}-(2*(-1)+\frac{(-1)^2}{2} -\frac{(-1)^3}{3} )= \\=4+2-\frac{8}{3} -(-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})= 6-2\frac{2}{3} -(-1,5+\frac{1}{3})=3 \frac{1}{3}+1,5 -\frac{1}{3} =3+1,5=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Я могу помочь вам вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Для этого я буду использовать один из моих инструментов, который позволяет найти точки пересечения кривых, построить графики функций и вычислить интегралы. Вот подробное решение вашей задачи:

Даны линии y = x^2 и y = x + 2. Найдем точки пересечения этих линий, решив систему уравнений:

y = x^2 y = x + 2

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

x^2 - x - 2 = 0

Решая квадратное уравнение, находим корни:

x1 = (-b + sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) = (1 + sqrt(9))/2 = 2 x2 = (-b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) = (1 - sqrt(9))/2 = -1

Подставляя эти значения в уравнения линий, находим соответствующие значения y:

y1 = x1^2 = 2^2 = 4 y2 = x2^2 = (-1)^2 = 1

Таким образом, точки пересечения линий имеют координаты A(-1, 1) и B(2, 4).

Построим графики функций y = x^2 и y = x + 2 на одном рисунке. Для этого я попробую создать графическое произведение искусства.

I'll try to create that.

Фигура, ограниченная данными линиями, имеет вид криволинейной трапеции. Площадь такой фигуры равна разности площадей под графиками функций на заданном интервале. То есть:

S = |integral from x1 to x2 of (y1 - y2) dx|

Где y1 и y2 - функции верхней и нижней границы фигуры, а x1 и x2 - точки пересечения линий.

В нашем случае, верхней границей фигуры является функция y1 = x + 2, а нижней - функция y2 = x^2. Точки пересечения линий имеют координаты x1 = -1 и x2 = 2. Подставляя эти данные в формулу, получаем:

S = |integral from -1 to 2 of ((x + 2) - x^2) dx|

Вычисляя интеграл по правилу Ньютона-Лейбница, находим:

S = |(x^2/2 + 2x - x^3/3)| from -1 to 2

S = |(4/2 + 4 - 8/3) - ((-1)^2/2 + (-2) - (-1)^3/3)|

S = |(6 - 8/3) - (1/6)|

S = |10/3 - 7/6|

S = |13/6|

S ≈ 2.17

Ответ: площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна примерно 2.17 единиц квадратных.